Теорема о взаимности перемещений

Проверка теоремы о взаимности перемещений

Лабораторная работа № 10

Цель работы – проверить опытным путем справедливость теоремы о взаимности перемещений и на ее основе построить упругую линию балки.

Основные сведения

Теорема о взаимности работ гласит, что работа первой силы на перемещении точки ее приложения под действием второй силы равна работе второй силы на перемещении точки ее приложения под действием первой силы, т.е.

F1 у12 = F2 у21 = W. (10.1)

Если силы равны, то теорема переходит в теорему о взаимности перемещений: перемещение первого сечения под действием силы, приложенной во втором сечении, равно перемещению второго сечения под действием той же силы, но приложенной в первом сечении.

у12 = у21. (10.2)

Порядок выполнения и обработка результатов

Опыты проводятся на настольной установке СМ-4, представляющей собой двухопорную балку описанную в лабораторной работе № 9.

Проверка теоремы о взаимности перемещений (рис. 10.1) выполняется следующим образом.

Проверка теоремы о взаимности перемещений
Рис. 10.1. Проверка теоремы о взаимности перемещений

В двух произвольных сечениях балки устанавливаются стрелочные индикаторы и гиревые подвесы (сечения 1 и 2 рис. 10.1, а). На индикаторе сечения 2 снимается начальный отсчет, балка нагружается в сечении 1 нагрузкой F и снимается отсчет индикатора, установленного в сечении 2 (см. рис. 10.1, б). Разность данного и начального отсчетов равна величине прогиба у21 в сечении 2. Затем балка разгружается.

Данные по F и у21 заносятся в журнал испытаний. Далее на индикаторе, установленном в сечении 1, снимается начальный отсчет, балка нагружается в сечении 2 той же нагрузкой F и по разности отсчетов индикатора 1 определяется величина прогиба у12 (см. рис. 10.1, в).

Балка разгружается и данные по у12 заносятся в журнал испытаний. Сопоставлением полученных данных по равенству (10.2) проверяется теорема о взаимности перемещений. Если равенство (10.2) не соблюдается, определяют процент погрешности

и делают выводы.

Используя теорему о взаимности перемещений, можно с помощью одного индикатора, закрепленного стационарно в сечении приложения нагрузки заданной расчетной схемы (рис. 10.2), определить экспериментально перемещения балки в любом сечении и построить упругую линию балки.

Построение упругой линии балки
Рис. 10.2. Построение упругой линии балки

Индикатор линейных перемещений устанавливается в том сечении балки, в котором по расчетной схеме прикладывается заданная нагрузка. Один гиревой подвес размещается на консоли, второй – внутри пролета.

Определяются перемещения сечения, в котором установлен индикатор, при последовательном приложении заданной нагрузки F в расчетные точки 1 ... 10 (см. рис. 10.2). Эта операция включает в себя установку гиревого подвеса в расчетную точку, снятие начального отсчета по индикатору, приложение заданной нагрузки F к гиревому подвесу, снятие отсчета индикатора и определение приращения отсчетов, равного определяемому перемещению. Для приложения нагрузки в сечениях, расположенных на консоли, используется второй гиревой подвес.

Согласно теореме о взаимности перемещений, эти перемещения будут равны перемещениям расчетных точек при приложении нагрузки F в сечении установки индикатора.

Полученные значения перемещений заносятся в журнал испытаний.

Для сравнения экспериментальных перемещений с теоретическими последние просчитываются для заданной расчетной схемы по универсальному уравнению МНП в тех же сечениях. Расчет линейных перемещений может быть проведен на ЭВМ.

По результатам сравнения экспериментальных и теоретических значений прогибов необходимо сделать соответствующие выводы.

Контрольные вопросы

  1. Сформулируйте теорему о взаимности работ и взаимности перемещений.
  2. Поясните, как можно проверить теорему о взаимности перемещений в лабораторных условиях. Изложите порядок проведения работы.
  3. Где можно использовать свойства теоремы о взаимности перемещений?
  4. Как построить экспериментально линию прогибов балки, имея в наличии один индикатор линейных перемещений? Если предлагается несколько вариантов, то какой из них дает более точные результаты?

Определение реакции опоры в статически неопределимой балке >
Другие лабораторные работы >
Примеры решения задач >