Прочность тонкостенных сосудов

Прочность тонкостенных сосудов и оболочек

Оболочки, имеющие форму тел вращения (рис. 11.1), стенки которых тонки (t ≤ 0,1D0), не имеют резких переходов и изломов при действии осесимметричных нагрузок (например, давления жидкости или газа), попадают под класс тонкостенных сосудов и могут быть рассчитаны по безмоментной теории.

Тонкостенная оболочка
Рис. 11.1

Связь между меридиональными σm и кольцевыми σt нормальными напряжениями (рис. 11.1) описывается уравнением Лапласа:

Уравнение Лапласа

где ρm и ρt – радиусы кривизны серединной поверхности меридионального и кольцевого сечений на уровне рассматриваемой точки;
р – интенсивность внутреннего давления.

Для определения σm обычно используется зависимость

Формула для расчета меридиональных напряжений

где Q – вес части сосуда и жидкости ниже рассматриваемого сечения.

Уравнения (11.1) и (11.2) позволяют найти величины σm и σt в каждой точке сосуда.

Рассмотрим частные случаи:

Сферическая оболочка

Сферический сосуд под действием внутреннего давления газа (рис.11.2).

Сферический сосуд
Рис. 11.2

Благодаря симметричности сосуда

σm = σt = σ,
ρm = ρt = D/2.

Из уравнения (11.1) находим

Цилиндрическая оболочка

Цилиндрический сосуд под действием внутреннего давления газа (рис. 11.3).

Цилиндрический сосуд
Рис. 11.3

Для цилиндрической части сосуда имеем:

ρt = D/2;      ρm = ∞;      α=0

Из уравнения (11.1) находим

σt = pD/2t.           (11.4)

Из уравнения (11.2), полагая cosα = 1, Q = 0,

σm = pD/4t.           (11.5)

Напряжения в днищах определяем, как в сферическом сосуде:

σm(дн)= σt(дн)=pR1/2t.       (11.6)

Напряжения в стенках труб

Напряжения в стенке трубы определяются аналогично, как для цилиндрической части тонкостенного сосуда.

Сравнение (11.4) и (11.5) показывает, что σt = 2σm, т.е. напряжения, растягивающие стенки цилиндрической части сосуда, по окружности в 2 раза больше напряжений вдоль образующей. Поэтому разрушение котлов, труб обычно происходит от кольцевых напряжений вдоль образующей.

σm и σt являются главными напряжениями,

σt = σ1, σm = σ2.

Третье главное напряжение, перпендикулярное к поверхности сосуда со стороны, где действует давление,

σ3 = -р;

с противоположной стороны, σ3 =0.

В тонкостенных оболочках обычно величины σm и σt намного больше, чем интенсивность внутреннего давления р, и поэтому величиной σ3 можно пренебречь, т.е. считать равной нулю.

Так как в любой точке тонкостенного сосуда имеет место сложное напряженное состояние, для расчета на прочность в зависимости от материала следует пользоваться соответствующей гипотезой прочности

σэквI ≤ [σ]p

Для рассматриваемой задачи при неучете σ3 эквивалентные напряжения по третьей гипотезе прочности и по гипотезе Мора одинаковы, т.е.

σэквIII= σэквМ= σt           (11.7)

а по энергетической теории

Если тонкостенный сосуд имеет резкие переломы в очертании (например, примыкание днищ к цилиндрической части), а также в местах закрепления, приложения сосредоточенных сил, установки патрубков, фланцев, у краев оболочки возникает изгиб. Зоны, прилегающие к таким местам, должны рассчитываться по моментной теории.

Примеры решения задач >
Краевой эффект в цилиндрических оболочках >