Расчет балки на прочность и жесткость

Задача. Произвести полный расчет на прочность и проверить жесткость статически определимой двутавровой балки (рис. 1) при следующих данных: F=40кН, q=30 кН/м, a=0,8 м, l=4м, допустимые нормальные и касательные напряжения: [σ]=160 МПа и  [τ]=100 МПа, допустимый прогиб балки [f]=l/400

Расчетная схема балки (задача на изгиб)

Рис. 1

Решение

Определение опорных реакций

Подробно пример определения опорных реакций для балки рассмотрен здесь

Видеоуроки
Из  Σmв=0

Из  ΣmА=0

Балка с эпюрами поперечных сил Q и изгибающих моментов M

Построение эпюр Q и М

Примеры построения эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов M для балки

Видеоуроки
В пролете балки 0  z2  l
QII= - R+ qz2= - 52+30z2
QII(z=0)= -52 кН
QII(z=l)= - 52+30⋅4=68 кН

MII=RB z2-qz22/2=52z2-30z22/2
MII (z=0)= 0
MII (z=l)-32 кНм
На консоли l  z1  (l+a)
QI= - R+ ql - RA=-52+304-108=-40 кН

MI=RB z1-ql(z1-l/2)+RA(z1-l)=52z1-304(z1-4/2)+108(z1-4)
MI (z=l)= -32 кНм
MI (z=l+a)= 0
 
По этим данным построены эпюры Q и М.

Подбор сечения двутавровой балки

Так как Мmах = 45 кНм, то
Wx    Mmax [σ= 45103 / 16010= 0,281 м= 281 см3.

По сортаменту выбираем двутавр № 24, для которого Wx = 289 см3Ix= 3460 см4, Smax = 163 см3, h = 24 см, bп = 11,5 см, t = 0,95 см, d = bc = 0,56 см, h0 = h-2t = 22,1 см.
Этот двутавр будет работать при максимальном нормальном напряжении в крайнем волокне опасного сечения.
σmax =  Mmax Wx = 45103 / 28910-6 = 156106 Па 156 МПа

Проверка сечения балки по касательным напряжениям

Так как Qmax = 68 кН, то

Построение эпюр нормальных  σ  и касательных  τ  напряжений в неблагоприятном сечении балки:
В отношении главных напряжений неблагоприятным является сечение над левой опорой, в котором:
М = - 32 кНм и Q = 68 кН.

Значение напряжений в различных точках по высоте двутавра сведены в таблицу 1

Сечение балки с эпюрами нормальных и касательных напряжений


Таблица 1
Результаты расчета в примере
результаты расчетов

Проверка прочности балки по главным напряжениям

Наиболее опасной точкой в неблагоприятном сечении является точка 3. В этой точке  σ1=118 МПа и  σ3= -16 МПа. Проверяем прочность в этой точке по третьей гипотезе прочности согласно неравенству  σ1σ3  [σ]. 

Так как 118 - ( -16) = 134 < 160, то выбранное сечение удовлетворяет условию прочности и по главным напряжениям.

Расчет перемещений сечений (прогибов балки)

Универсальные уравнения для сечения z:

уравнения МНП
Опорные условия:

1) при z=0 y(z)=0, следовательно, y0=0
2) при z=l  y(z)=0 находим  θ0

откуда  θ0 = -8,4810-3 радиан.
Прогиб в пролете при z=l/2=4/2=2 м.

Аналогично определяется прогиб на конце консоли при z = l + a =4+0,8 = 4,8 м.

Проверка жесткости балки

- пролетной части: 
 yc=0,98 см < 1/400 = 400/400 = 1 см

- консольной части:
 yD=0,33 см < 2a/400 = 280/400 = 0,4 см.

Следовательно, принятая двутавровая балка удовлетворяет требуемому условию жесткости.