Вывод формулы нормальных напряжений при растяжении-сжатии

Вывод формулы расчета напряжений при растяжении-сжатии

Если на прямой стержень до его нагружения нанести сетку из продольных и поперечных линий, то после его растяжения (сжатия) мы увидим, что эти линии остались параллельны своему первоначальному положению.

Поступательное перемещение сечений при растяжении-сжатии

Это говорит о том, что при продольном нагружении, поперечные сечения бруса перемещаются поступательно.

В соответствии с гипотезой плоских сечений, можно утверждать, что при растяжении-сжатии напряжения во всех точках поперечного сечения равны, т.е. σ=const.

Рассмотрим равновесие отсеченной части стержня.

Под действием внешней силы F в поперечном сечении возникает внутреннее усилие N,

Внутренняя сила и нормальные напряжения в сечении бруса

которое в свою очередь вызывает нормальные напряжения σ одинаковой величины в каждой точке сечения.

Из условия равновесия:

Сумма нормальных напряжений в сечении равна внутренней силе

где A - площадь поперечного сечения стержня.

То есть  внутренняя сила N равна сумме всех нормальных напряжений σ в сечении

Учитывая, что нормальные напряжения постоянны (σ=const), вынесем их за знак интеграла

и получаем формулу для расчета нормальных напряжений при растяжении-сжатии.

Формула нормальных напряжений при растяжении-сжатии