Центральный удар

Понятие о центральном ударе

Центральным ударом тела о неподвижную преграду называют удар, при котором нормаль к поверхности преграды в точке соприкосновения проходит через центр масс тела. В противном случае удар называется нецентральным.

При рассмотрении явления удара необходимо отказаться от понятия абсолютно твердого тела.

Рассмотрим прямой центральный удар двух тел, движущихся поступательно (рисунок 2): ν12 – скорости тел до удара, C1, C2 – центры масс тел.

центральный удар
Рисунок 2

Внешние ударные импульсы отсутствуют, поэтому для системы двух тел количество движения системы не изменяется

m1ν1 + m2ν2 = m1u1 + m2u2. (13)

Коэффициент восстановления

k = (u2 - u1)/(ν1 - ν2). (14)

Решая совместно эти два уравнения, находим:

u1 = ν1 + (1+k)(v2 - v1)m2 /(m1+m2) (15)
u2 = ν2 + (1+k)(v1 - v2)m2 /(m1+m2) (16)

Если k = 0, то u1 = u2 = u. Отсюда скорость системы двух тел в конце неупругого удара

u = (m1ν1 + m2ν2)/(m1+m2) (17)

Для определения ударного импульса воспользуемся теоремой об изменении количества движения за время удара для одного из тел

m1u1 - m1ν1 = -S. (18)

Откуда:

S = (1+k)(v1 - v2)m1 m2 /(m1+m2) (19)

При абсолютно упругом ударе ударный импульс в два раза больше, чем при абсолютно неупругом.

Из-за остаточных деформаций и нагревания тел при ударе происходит частичная потеря начальной кинетической энергии соударяющихся тел.

При прямом центральном ударе двух тел потерю кинетической энергии можно представить в виде теоремы Карно: кинетическая энергия, потерянная при прямом центральном не вполне упругом ударе двух тел, равна (1-k)/(1+k)-той части той кинетической энергии, которую имела бы система, если бы ее тела двигались с потерянными скоростями

теорема Карно

где m1 и m2 – массы соударяющихся тел, ν1x и ν2xпроекции скоростей соударяющихся тел на ось Ox до удара, u1x и u2x – проекции скоростей соударяющихся тел на ось Ox после удара.

Величины 1x - u1x) и 2x - u2x) называются потерянными скоростями и показывают, насколько уменьшилась при ударе скорость каждого из соударяющихся тел.

Если при неупругом ударе (k = 1) одно из тел (например, второе) до удара находилось в покое, то

ν2 = 0,
T0 = ½m1v12,
T = ½(m1 + m2)u12
(21)

Формула (17) принимает вид

При этом

Потеря кинетической энергии при ударе

T0 - T = T0 - T0∙m1 /(m1+m2), (24)

откуда

T0 - T = T0∙m2/(m1+m2). (25)

При действии ударного импульса на твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, для определения угловой скорости используется теорема об изменении кинетического момента (7) или

где Jz – момент инерции вращающегося тела,
Mz(S) – момент ударного импульса относительно оси вращения тела,
ω0, ω1 – угловая скорость вращающегося тела соответственно до и после действия ударных импульсов.

Отсюда угловая скорость тела

При действии ударного импульса на вращающееся тело угловая скорость изменяется на величину, равную отношению момента этого импульса относительно оси вращения к моменту инерции тела относительно той же оси.

Рисунок 3

Для определения импульсов ударных реакций в подшипниках (рисунок 3) введем подвижную систему координат, проведя плоскость через центр масс, и воспользуемся теоремами об изменении количества движения (6) и об изменении кинетического момента (8). При этом:

νcx = -ω0a; νcy = νcz = 0;
ucx = -ωa;  ucy = ucz = 0;
Lx(1) = -Jzxω0;  Ly(1) = -Jyzω0;  Lz(1) = Jzω0;
Lx(2) = -Jzxω;   Ly(2)= -Jyzω;   Lz(2) = Jzω
;

здесь Jz – момент инерции тела относительно оси z, Jzx, Jyz – центробежные моменты инерции тела относительно осей z, x и осей y, z.

Получим шесть уравнений для определения импульсов ударных реакций и угловой скорости после удара:

Примеры решения задач по теме >>