Изменение момента количества движения

Теорема об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки

Рассмотрим материальную точку M массой m, движущуюся под действием силы F (рисунок 3.1). Запишем и построим вектор момента количества движения (кинетического момента) M0 материальной точки относительно центра O:

вектор момента количества движения (кинетического момента)
Рисунок 3.1

Дифференцируем выражение момента количества движения (кинетического момента k0) по времени:

Так как dr/dt=V, то векторное произведение V × m∙V (коллинеарных векторов V и m∙V) равно нулю. В то же время d(m∙V)/dt=F согласно теореме о количестве движения материальной точки. Поэтому получаем, что

dk0/dt = r×F,    (3.3)

где r×F = M0 (F) – вектор-момент силы F относительно неподвижного центра O. Вектор k0 ⊥ плоскости (r, m×V), а вектор M0(F) ⊥ плоскости (r, F), окончательно имеем

dk0/dt = M0(F).    (3.4)

Уравнение (3.4) выражает теорему об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно центра: производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какого-либо неподвижного центра равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.

Проецируя равенство (3.4) на оси декартовых координат, получаем

dkx/dt = Mx(F);
dky/dt = My(F);
dkz/dt = Mz(F).    (3.5)

Равенства (3.5) выражают теорему об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно оси: производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какой-либо неподвижной оси равна моменту действующей на эту точку силы относительно той же оси.

Рассмотрим следствия, вытекающие из теорем (3.4) и (3.5).

Следствие 1

Рассмотрим случай, когда сила F во все время движения точки проходит через неподвижный центр O (случай центральной силы), т.е. когда M0(F) = 0. Тогда из теоремы (3.4) следует, что k0 = const, т.е. в случае центральной силы момент количества движения (кинетический момент) материальной точки относительно центра этой силы остается постоянным по модулю и направлению (рисунок 3.2).

момент количества движения (кинетический момент)
Рисунок 3.2

Из условия k0 = const следует, что траектория движущейся точки представляет собой плоскую кривую, плоскость которой проходит через центр этой силы.

Следствие 2

Пусть Mz(F) = 0, т.е. сила пересекает ось z или параллельна ей.

В этом случае, как это видно из третьего из уравнений (3.5), kz = const, т.е. если момент действующей на точку силы относительно какой-либо неподвижной оси всегда равен нулю, то момент количества движения (кинетический момент) точки относительно этой оси остается постоянным.

Теорема об изменении момента количества движения (кинетического момента) механической системы >>