Изменение момента количества движения

Теорема об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки

Рассмотрим материальную точку M массой m , движущуюся под действием силы F (рисунок 3.1). Запишем и построим вектор момента количества движения (кинетического момента) M0 материальной точки относительно центра O:

вектор момента количества движения (кинетического момента)
Рисунок 3.1
        Дифференцируем выражение момента количества движения (кинетического момента k0 ) по времени:

        Так как dr/dt = V, то векторное произведение ⊗ mV(коллинеарных векторов V и mV ) равно нулю. В то же время d(mV)/dt = F согласно теореме о количестве движения материальной точки. Поэтому получаем, что 
                                            dk0/dt = rF,                                            (3.3)
где rF = M0(F) – вектор-момент силы F относительно неподвижного центра O. Вектор k⊥ плоскости (r,mV ), а вектор M0(F⊥ плоскости (r,F ), окончательно имеем
                                            dk0/dt = M0(F).                                           (3.4)

         Уравнение (3.4)  выражает теорему об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно центра: производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какого-либо неподвижного центра равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра. 
         Проецируя равенство (3.4) на оси декартовых координат, получаем

             dkx/dt = Mx(F);   dky/dt = My(F);   dkz/dt = Mz(F).             (3.5)  

         Равенства (3.5) выражают теорему об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно оси: производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какой-либо неподвижной оси равна моменту действующей на эту точку силы относительно той же оси.

         Рассмотрим следствия, вытекающие из теорем (3.4) и (3.5).
         Следствие 1. Рассмотрим случай, когда сила F во все время движения точки проходит через неподвижный центр O (случай центральной силы), т.е. когда M0(F) = 0. Тогда из теоремы (3.4) следует, что k0 = const,
         т.е. в случае центральной силы момент количества движения (кинетический момент) материальной точки относительно центра этой силы остается постоянным по модулю и направлению (рисунок 3.2).
момент количества движения (кинетический момент)
Рисунок 3.2

         Из условия k0 = const следует, что траектория движущейся точки представляет собой плоскую кривую, плоскость которой проходит через центр этой силы.
         Следствие 2. Пусть Mz(F) = 0, т.е. сила пересекает ось z или ей параллельна. В этом случае, как это видно из третьего из уравнений (3.5), kz = const,
         т.е. если момент действующей на точку силы относительно какой-либо неподвижной оси всегда равен нулю, то момент количества движения (кинетический момент) точки относительно этой оси остается постоянным.