Теорема об изменении кинетической энергии

Рассмотрим движение произвольной точки системы из первого положения во второе:
где Fke - внешние силы, действующие на систему,
       Fki - внутренние силы системы.

Умножим обе части уравнения скалярно на дифференциал радиуса-вектора drk тогда

или  dTk = dAke + dAki , (1.1)
где Tk - кинетическая энергия точки;
далее получим

Просуммируем по всем точкам системы
То есть, изменение кинетической энергии механической системы на некотором перемещении равно сумме работ внешних и внутренних сил, действующих на систему, на том же перемещении.

Если в формуле (1.1) обе части уравнения разделить на dt, то можно записать теорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме: производная по времени от кинетической энергии механической системы равна сумме мощностей внешних и внутренних сил, действующих на систему.

dTk / dt = dAke / dt + dAki / dt ,    dTk / dt =Nke + Nki.

Суммируя по всем точкам системы, получим
 dT / dt = Nke + ∑Nki.

Из теоремы следует закон сохранения механической энергии.

Если механическая система является консервативной, то полная механическая энергия системы  Т + П, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, при движении системы остается постоянной.

При движении механической системы в потенциальном силовом поле получаем
T2 -T1 = A12.
По определению потенциальной энергии
П1 - П2 = A12.
Тогда
T2 - T1 = П1 - П2  , T2+ П2 = T1 + П1 ,  Т + П = const.