Расчет горизонтального движения корпуса двигателя
Задача
Горизонтальный поршневой двигатель установлен без крепления на горизонтальном гладком фундаменте (рисунок 1.4). Кривошип OA длиной r вращается с постоянной угловой скоростью ω.
Принимая длину шатуна равной длине кривошипа, и считая, что массы движущихся частей приведены к двум массам m1 и m2, сосредоточенным в пальце кривошипа и в центре поршня, определить горизонтальное движение корпуса двигателя, если его масса равна m3. В начальный момент поршень занимал крайнее левое положение, а система находилась в покое.
Пример решения
Рассмотрим двигатель как систему, состоящую из трех масс m1, m2, m3. На нее действуют внешние силы: P1, P2, P3 — силы тяжести; N — нормальная реакция гладкого фундамента.
Поскольку требуется найти горизонтальное движение корпуса, воспользуемся первым уравнением (1.10):
Пусть x1, x2, x3 – абсциссы масс системы в текущий момент t. Тогда абсцисса центра масс системы будет
Выразив все абсциссы через искомую x3, имеем
x2 = x3+ l -2rcos(ω∙t), (1.12)
где l=const – разность абсцисс точки O и массы m3.
Подставим эти абсциссы в формулу (1.11), получим
-m1∙r∙cos(ω∙t)-2m2cos(ω∙t))/M=
=x3+(m1+m2)∙l/M -(m1+2m2)∙r∙cos(ω∙t)/M.
Дифференцируя xc дважды по времени и подставляя в (1.10’), будем иметь дифференциальное уравнение движения центра масс корпуса двигателя:
В данной задаче Rxe=0, т.к. при выбранных осях все внешние силы параллельны оси O1y. Уравнение (13) примет вид
Интегрируя, найдем
Учитывая начальные условия движения корпуса
получим
C2 = x30-(m+2m2)∙r∙(1-
-cos(ω∙t))/(m1+m2+m3),
где x30 — начальная абсцисса корпуса двигателя.
Итак,
— cos(ω∙t))/(m1 + m2 + m3).
Это и есть уравнение движения корпуса двигателя. Таким образом, корпус двигателя будет совершать гармонические колебания с амплитудой
и круговой частотой ω.
Другие примеры решения задач >>