Горизонтальное движение корпуса двигателя

Задача
         Горизонтальный поршневой двигатель установлен без крепления на горизонтальном  гладком фундаменте (рисунок 1.4). Кривошип OA длиной r вращается с постоянной угловой скоростью ω. Принимая длину шатуна равной длине кривошипа, и считая, что массы движущихся частей приведены к двум массам m1 и m2, сосредоточенным в пальце кривошипа и в центре поршня, определить горизонтальное движение корпуса двигателя, если его масса равна m3. В начальный момент поршень занимал крайнее  левое положение, а система находилась в покое.

Пример решения

         Рассмотрим двигатель как систему, состоящую из трех масс m1m2 ,m3. На нее действуют внешние силы:  P1P2 ,P- силы тяжести; N - нормальная реакция гладкого фундамента.


Рисунок 1.4

Поскольку требуется найти горизонтальное движение корпуса, воспользуемся первым уравнением (1.10):
 

Пусть  x1x2x3   – абсциссы масс системы в текущий момент t. Тогда абсцисса центра масс системы будет
                             xc = (m1x1 + m2x2 + m3x3)/M.                                 (1.11)

Выразив все абсциссы через искомую x3, имеем
           x1 = x+ -rcos(ωt),
           x2 = x-2rcos(ωt),                                                                 (1.12)        
где l = const – разность абсцисс точки O и массы m3
Подставим эти абсциссы в формулу (1.11), получим
xc = ((m1 + m2 + m3)x+ m1m2l - m1rcos(ωt) 2m2cos(ωt))/M = x+ (m1 + m2)l/M - (m1 + 2m2)rcos(ωt)/M. 
Дифференцируя xc дважды по времени и подставляя в (1.10’), будем иметь дифференциальное уравнение движения центра масс корпуса двигателя:
В данной задаче  Rxe = 0, т.к. при выбранных осях все внешние силы параллельны оси O1y. Уравнение (13) примет вид

Интегрируя, найдем

Учитывая начальные условия движения корпуса
получим
        C1 = 0, C2 = x30 (m + 2m2)r(1-cos(ωt))/(m1 + m2 + m3), 

где x3- начальная абсцисса корпуса двигателя.
Итак,
 x3 = x3(m1 + 2m2)r(1-cos(ωt))/(m1 + m2 + m3).

Это и есть уравнение движения корпуса двигателя. Таким образом, корпус двигателя будет совершать гармонические колебания с амплитудой
 A (m1 + 2m2)r/(m1 + m2 + m3)
и круговой частотой ω.