Расчет горизонтального движения корпуса двигателя от его вращения

Расчет горизонтального движения корпуса двигателя

Задача

Горизонтальный поршневой двигатель установлен без крепления на горизонтальном гладком фундаменте (рисунок 1.4). Кривошип OA длиной r вращается с постоянной угловой скоростью ω.

Принимая длину шатуна равной длине кривошипа, и считая, что массы движущихся частей приведены к двум массам m1 и m2, сосредоточенным в пальце кривошипа и в центре поршня, определить горизонтальное движение корпуса двигателя, если его масса равна m3. В начальный момент поршень занимал крайнее левое положение, а система находилась в покое.

Пример решения

Рассмотрим двигатель как систему, состоящую из трех масс m1, m2, m3. На нее действуют внешние силы: P1, P2, P3 - силы тяжести; N - нормальная реакция гладкого фундамента.

Рисунок 1.4

Поскольку требуется найти горизонтальное движение корпуса, воспользуемся первым уравнением (1.10):

Пусть x1, x2, x3 – абсциссы масс системы в текущий момент t. Тогда абсцисса центра масс системы будет

xc=(m1x1+m2x2+m3x3)/M.        (1.11)

Выразив все абсциссы через искомую x3, имеем

x1 = x3+ l -rcos(ω∙t),
x2 = x3+ l -2rcos(ω∙t),
       (1.12)

где l=const – разность абсцисс точки O и массы m3.

Подставим эти абсциссы в формулу (1.11), получим

xc=((m1+m2+m3)x3+m1∙l+m2∙l-
-m1∙r∙cos(ω∙t)-2m2cos(ω∙t))/M=
=x3+(m1+m2)∙l/M -(m1+2m2)∙r∙cos(ω∙t)/M.

Дифференцируя xc дважды по времени и подставляя в (1.10’), будем иметь дифференциальное уравнение движения центра масс корпуса двигателя:

В данной задаче Rxe=0, т.к. при выбранных осях все внешние силы параллельны оси O1y. Уравнение (13) примет вид

Интегрируя, найдем

Учитывая начальные условия движения корпуса

получим

C1 = 0,
C2 = x30-(m+2m2)∙r∙(1-
-cos(ω∙t))/(m1+m2+m3)
,

где x30 - начальная абсцисса корпуса двигателя.

Итак,

x3 = x30 - (m1 + 2m2)∙r∙(1-
- cos(ω∙t))/(m1 + m2 + m3)
.

Это и есть уравнение движения корпуса двигателя. Таким образом, корпус двигателя будет совершать гармонические колебания с амплитудой

A=(m1+2m2)∙r/(m1+m2+m3)

и круговой частотой ω.

Другие примеры решения задач >>