Задача Горизонтальный поршневой двигатель установлен без крепления на горизонтальном гладком фундаменте (рисунок 1.4). Кривошип OA длиной r вращается с постоянной угловой скоростью ω. Принимая длину шатуна равной длине кривошипа, и считая, что массы движущихся частей приведены к двум массам m1 и m2, сосредоточенным в пальце кривошипа и в центре поршня, определить горизонтальное движение корпуса двигателя, если его масса равна m3. В начальный момент поршень занимал крайнее левое положение, а система находилась в покое. Пример решения Рассмотрим двигатель как систему, состоящую из трех масс m1, m2 ,m3. На нее действуют внешние силы: P1, P2 ,P3 - силы тяжести; N - нормальная реакция гладкого фундамента.
 Рисунок 1.4
Поскольку требуется найти горизонтальное движение корпуса, воспользуемся первым уравнением (1.10):
 Пусть x1, x2, x3 – абсциссы масс системы в текущий момент t. Тогда абсцисса центра масс системы будет
xc = (m1⋅x1 + m2⋅x2 + m3⋅x3)/M. (1.11)
Выразив все абсциссы через искомую x3, имеем
x1 = x3 + l -r⋅cos(ω⋅t),
x2 = x3 + l -2⋅r⋅cos(ω⋅t), (1.12)
где l = const – разность абсцисс точки O и массы m3.
Подставим эти абсциссы в формулу (1.11), получим
xc = ((m1 + m2 + m3)⋅x3 + m1⋅l + m2⋅l - m1⋅r⋅cos(ω⋅t) - 2⋅m2⋅cos(ω⋅t))/M = x3 + (m1 + m2)⋅l/M - (m1 + 2⋅m2)⋅r⋅cos(ω⋅t)/M.
Дифференцируя xc дважды по времени и подставляя в (1.10’), будем иметь дифференциальное уравнение движения центра масс корпуса двигателя:
 В данной задаче Rxe = 0, т.к. при выбранных осях все внешние силы параллельны оси O1y. Уравнение (13) примет вид
 Интегрируя, найдем
 Учитывая начальные условия движения корпуса
 получим
C1 = 0, C2 = x30 - (m + 2⋅m2)⋅r⋅(1-cos(ω⋅t))/(m1 + m2 + m3),
где x30 - начальная абсцисса корпуса двигателя.
Итак,
x3 = x30 - (m1 + 2⋅m2)⋅r⋅(1-cos(ω⋅t))/(m1 + m2 + m3).
Это и есть уравнение движения корпуса двигателя. Таким образом, корпус двигателя будет совершать гармонические колебания с амплитудой
A = (m1 + 2⋅m2)⋅r/(m1 + m2 + m3)
и круговой частотой ω.
|
     |
Горизонтальное движение корпуса двигателя |
