Расчет перемещения элементов механической системы

Расчет перемещения элементов механической системы

Задача

Механическая система состоит из призмы 1 массой M1, тел 2 и 3 массами M2 и M3 соответственно, соединенными невесомыми, нерастяжимыми нитями, переброшенными через невесомые блоки 4 и 5 (рисунок 1.2, а). На систему действует постоянный момент, приложенный к блоку 4.

Определить горизонтальное перемещение Δ призмы, скользящей по гладкой горизонтальной поверхности при заданном перемещении S груза 2 по поверхности призмы. В начальный момент система находилась в покое.

Пример решения

Примем начало координат в левом конце призмы 1, тогда координаты, определяющие положение тел 1, 2, 3: x1, x2, x3 соответственно.

Внешние силы, действующие на механическую систему: P1, P2, P3, N, M0, где P1, P2, P3 – веса соответствующих тел; Nреакция гладкой поверхности.

Для решения задачи воспользуемся теоремой о движении центра масс

m×ac=Re,

а в проекции на горизонтальную ось:

в данной задаче Rxe=0.

Так как в начальный момент система покоилась, то

следовательно, xc=const.

Вычислим абсциссу центра масс системы в двух случаях:

  1. для начального положения груза 2 (рисунок 1.2, а);
  2. для того положения системы, когда груз переместится по наклонной плоскости на расстояние, равное S (рисунок 1.2, б), а призма предположительно переместится влево по горизонтали.
а
б
Рисунок 1.2

Абсцисса центра масс системы до перемещения груза 2 (рисунок 1.2, б)

Обозначим перемещение призмы Δ. После того как груз 2 переместился на расстояние S, призма со всеми телами системы, находящимися на ее поверхности, переместится влево на расстояние Δ, координаты центров тяжести тел по оси x (в системе xOy) будут следующими:

  • для призмы 1: x1'=Δ;
  • для груза 2: x2'=x2- Δ + Scos 30°

за счет переносного движения вместе с подвижной системой, связанной с призмой, абсцисса x2 уменьшилась на величину Δ, за счет переносного движения по поверхности призмы абсцисса увеличилась на расстояние Scos30° - рисунок 1.3.

Рисунок 1.3

Груз 3 поднимется по вертикали вверх за счет того, что левая нить уменьшится на величину S. Абсцисса центра тяжести груза 3 за счет его переносного движения вместе с призмой уменьшится на Δ и станет равной для груза 3: x3'=x3.

Абсцисса центра масс системы после перемещения груза 2 по поверхности призмы

xc'=(M1(x1-Δ)+M2(x2+Scos30°-Δ)+
+M3(x3-Δ))/(M1+M2+M3)

Приравнивая значения этих абсцисс, т.к.

xc= const,

получим

(M1∙x1 + M2∙x2 + M3∙x3)/(M1+M2+M3)=
=(M1(x1-Δ) + M2(x2+ S∙cos30° - Δ)+
+M3(x3- Δ))/(M1 + M2 + M3).

Упрощая, запишем

Δ∙(M1 + M2 + M3) = M2∙S∙cos30°.

Знак «+» в результате говорит о правильности предположения, что призма сместится влево. Таким образом, призма переместится влево на расстояние

Δ=M2∙S∙cos30°/(M1+M2+M3).

Другие примеры решения задач >>