Определение реакции опоры с помощью принципа возможных перемещений

Пример определения реакции опоры с помощью принципа возможных перемещений

Задача: С помощью принципа возможных перемещений определить реакцию опоры A составной конструкции, находящейся в равновесии под действием распределенной нагрузки интенсивности q , силы F  и момента  M.

Геометрию и размеры конструкции считать известными.

определить реакцию опоры составной конструкции, находящейся в равновесии
Рисунок 2.4
Решение

Заменим распределенную нагрузку сосредоточенной силой  Q = q⋅ DH. Эта сила приложена в середине отрезка DH – в точке  L.

Силу  F разложим на составляющие: горизонтальную Fx⋅ cosα  и вертикальную    Fy⋅ sinα.

перемещения точек конструкции через возможный поворот ее части
Рисунок 2.5

Чтобы решить задачу с помощью принципа возможных перемещений, необходимо, чтобы конструкция могла перемещаться и при этом чтобы в уравнении работ была одна неизвестная реакция. В опоре A  реакция раскладывается на составляющие  XA,  YA.

Для определения  XA изменим конструкцию опоры  A так, чтобы точка  A могла перемещаться только по горизонтали. Выразим перемещения точек конструкции через возможный поворот части   CDB вокруг точки  B на угол  δφ1, часть  AKC конструкции в этом случае поворачивается вокруг точки CV1  - мгновенного центра вращения (рисунок 2.5) на угол    δφ2, и перемещения точек  L и  C  – будут

 δSLBL⋅ δφ1;  δSCBC⋅ δφ1.

В то же время  δSC =  C CV1  ⋅ δφ2  т.е. δφ2 = δφ1⋅ BC/C CV1 .

Уравнение работ удобнее составить через работу моментов заданных сил, относительно центров вращений.

 Q ⋅ BL⋅ δφ1Fx⋅ BH⋅ δφ1 + Fy⋅ ED⋅ δφ1 + M⋅ δφ2XA⋅ ACV1⋅ δφ2 = 0.

Реакция  YA работу не совершает. Преобразуя это выражение, получим

 Q⋅ (BH + DH/2)⋅ δφ1 + F⋅ cosα⋅ BD⋅ δφ1 + F⋅ sinα⋅ DE⋅ δφ1 + 
 + M⋅ δφ1⋅ BC/C CV1  - XA⋅ ACV1⋅ δφ1⋅ BC/CCV1 = 0.

Сократив на δφ1 , получим уравнение, из которого легко находится  XA.

Для определения  YA конструкцию опоры  A  изменим так, чтобы при перемещении точки  A работу совершала только сила  YA (рисунок 2.6). Примем за возможное перемещение части конструкции  BDC поворот вокруг неподвижной точки B  - δφ3 . 

возможное перемещение части конструкции
Рисунок 2.6

Для точки    C     δSC = BC⋅ δφ3, мгновенным центром вращения для части конструкции AKC   будет точка  CV2, и перемещение точки  C выразится:  

δSC = CCV2⋅ δφ4. Приравнивая перемещения точки  C для двух частей, получаем

 BC⋅ δφ3 = CCV2⋅ δφ4,
 δφ4 = δφ3⋅ BC/CCV2.

Составим уравнение работ:

 Q⋅ BL⋅ δφ3 + Fx⋅ BD ⋅ δφ3 + Fy⋅ ED⋅  δφ3 - M⋅ δφ4 - YA⋅ ACV2⋅ δφ4 = 0,
 Q⋅ BL⋅ δφ3 + F⋅ cosα⋅ BD ⋅ δφ3 + F⋅ sinα⋅ ED⋅  δφ3 - M⋅ δφ3⋅ BC/CCV2 - 
 - YA⋅ ACV2⋅ δφ3⋅ BC/CCV2 = 0.

Сократив на принятое возможное перемещение - δφ3, можно определить реакцию  YA. Полная реакция в точке  A:

направление   RA определяется углами: