Расчет реакции опоры по принципу возможных перемещений

Пример определения реакции опоры с помощью принципа возможных перемещений

Задача

С помощью принципа возможных перемещений определить реакцию опоры A составной конструкции, находящейся в равновесии под действием распределенной нагрузки интенсивности q, силы F и момента M.

Геометрию и размеры конструкции считать известными.

определить реакцию опоры составной конструкции, находящейся в равновесии
Рисунок 2.4

Решение

Заменим распределенную нагрузку сосредоточенной силой Q = q∙DH. Эта сила приложена в середине отрезка DH – в точке L.

Силу F разложим на составляющие, спроецировав ее на оси: горизонтальную Fxcosα и вертикальную Fysinα.

перемещения точек конструкции через возможный поворот ее части
Рисунок 2.5

Чтобы решить задачу с помощью принципа возможных перемещений, необходимо, чтобы конструкция могла перемещаться и при этом чтобы в уравнении работ была одна неизвестная реакция. В опоре A реакция раскладывается на составляющие XA, YA.

Для определения XA изменим конструкцию опоры A так, чтобы точка A могла перемещаться только по горизонтали. Выразим перемещения точек конструкции через возможный поворот части CDB вокруг точки B на угол δφ1, часть AKC конструкции в этом случае поворачивается вокруг точки CV1 - мгновенного центра вращения (рисунок 2.5) на угол δφ2, и перемещения точек L и C – будут

δSL = BL∙δφ1;
δSC = BC∙δφ1
.

В то же время

δSC = CCV1∙δφ2

т.е.

δφ2 = δφ1∙BC/CCV1.

Уравнение работ удобнее составить через работу моментов заданных сил, относительно центров вращений.

Q∙BL∙δφ1 + Fx∙BH∙δφ1 + Fy∙ED∙δφ1 +
+ M∙δφ2 - XA∙ACV1∙δφ2 = 0
.

Реакция YA работу не совершает. Преобразуя это выражение, получим

Q∙(BH + DH/2)∙δφ1 + F∙cosα∙BD∙δφ1 +
+ F∙sinα∙DE∙δφ1 + M∙δφ1∙BC/CCV1 -
- XA∙ACV1∙δφ1∙BC/CCV1 = 0
.

Сократив на δφ1, получим уравнение, из которого легко находится XA.

Для определения YA конструкцию опоры A изменим так, чтобы при перемещении точки A работу совершала только сила YA (рисунок 2.6). Примем за возможное перемещение части конструкции BDC поворот вокруг неподвижной точки B - δφ3.

возможное перемещение части конструкции
Рисунок 2.6

Для точки C δSC = BC∙δφ3, мгновенным центром вращения для части конструкции AKC будет точка CV2, и перемещение точки C выразится:

δSC = CCV2∙δφ4.

Приравнивая перемещения точки C для двух частей, получаем

BC∙δφ3 = CCV2∙δφ4,
δφ4 = δφ3∙BC/CCV2
.

Составим уравнение работ:

Q∙BL∙δφ3 + Fx∙BD∙δφ3 + Fy∙ED∙δφ3 -
- M∙δφ4 - YA∙ACV2∙δφ4 = 0,
Q∙BL∙δφ3 + F∙cosα∙BD∙δφ3 +
+ F∙sinα∙ED∙δφ3 - M∙δφ3∙BC/CCV2 -
- YA∙ACV2∙δφ3∙BC/CCV2 = 0
.

Сократив на принятое возможное перемещение - δφ3, можно определить реакцию YA. Полная реакция в точке A:

направление RA определяется углами:

Другие примеры решения задач >>