Определение уравнений движения точки

Определение уравнений движения точки

Пример выполнения задания РГР Д1 "Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки"

Рассмотрим следующие случаи выражения силы, действующей на точку:

  1. сила зависит от времени;
  2. сила зависит от положения точки в пространстве;
  3. сила зависит от скорости точки.

Задача

Пусть свободная материальная точка массой m движется под действием силы

F = ib1cosωt + jb2vy + kb3z,
где b1, b2, b3 - некоторые постоянные коэффициенты при начальных условиях
x0 = 0,   y0 = 0,
z0 ≠ 0,  vx0 = 0,
vy0 ≠ 0,   vz0 = 0
.

Необходимо определить уравнения движения точки в координатной форме.

Решение

Запишем для этой точки дифференциальные уравнение в проекциях на декартовы оси координат

m∙d2x/dt2 = b1cosωt
m∙d2y/dt2 = b2vy
      (7)
m∙d2z/dt2 = b3z

Первое уравнение системы (7) можно представить в виде двух уравнений первого порядка

m∙dvx/dt = b1cosωt       (8)
dx/dt = vx

В первом уравнении связаны две переменные величины: проекция скорости на ось x и время. Разделяя переменные, получим

m∙dvx = b1cosωtdt

Слева и справа от знака равенства стоят дифференциалы некоторых функций.

Если дифференциалы равны, то и интегралы равны с точностью до постоянной интегрирования

∫mdvx = ∫b1cosωtdt + C1

После интегрирования получим

vx = (b1/(mω))sinωt + C1     (9)

т.е. зависимость проекции скорости точки на ось x от времени. Из второго уравнения системы (8) получим

dx/dt = (b1/(mω))sinωt + C1

Снова, разделяя переменные, получим

dx = ((b1/(mω))sinωt + C1)dt

После интегрирования получим

x = -(b1/(mω2))cosωt + C1t + C2      (10)

Постоянные C1 и C2 определим по начальным условиям. Подставляя в выражение (10) значение координаты x при t=0, получаем

0 = -(b1/(mω2))cosω0 + C10 + C2
отсюда
C2 =b1/(mω2)

Постоянную C1 определим, подставляя в (9) значение vx при t=0:

0 = (b1/(mω))sinω0 + C1

отсюда C1=0.

Таким образом, решение первого уравнения системы (7) имеет вид

x = (b1/(mω2))cosωt + b1/(mω2)   (11)

Второе уравнение системы (7) также представляем в виде двух уравнений

m∙dvy/dt = b2vy
dy/dt = vy
     (12)

Разделяя переменные в первом уравнении, получим

m∙dvy/vy = b2dt
или
lnvy = (b2/m)t + lnC3.

Решая относительно vy, получим

Учитывая второе уравнение системы (12) снова получаем

Разделяя переменные и интегрируя, получим

Постоянные C3 и C4 определяем по начальным условиям.

Таким образом, решение второго уравнения системы (7) имеет вид