Пример решения РГР Д19

Пример решения РГР Д19 то теоретической механике

Для заданной механической системы определить ускорение груза и натяжения нитей. 

определить ускорение груза  и натяжения нитей
Рис. 2.1

Система движется из состояния покоя, моменты сопротивления в подшипниках не учитывать, массами нитей пренебречь, нити не растяжимы (рис. 2.1).

Дано
m; m, R, rB , i ; mD , RD , fk ;
i – радиус инерции блока  B, при вращении его вокруг оси перпендикулярной плоскости чертежа;
fk – коэффициент трения качения для катка D;
каток D – сплошной однородный цилиндр.

Решение. Определим направление движения системы, указав направление ускорения груза A, покажем на рис. 2.2. задаваемые силы:  GA , GB , GD реакции связей N, ND (направление NB пока неизвестно). Силы инерции для тела A приводятся к главному вектору сил инерции ФА=mAaA , для тела B к главному моменту сил инерции MBФ=JBεB , для тела D, совершающего плоское движение к главному вектору сил инерции ФD=mDaD и к главному моменту  сил инерции MDФ=JDεD . Коэффициент трения качения определяет наличие момента сопротивления

Mсопр = fk⋅N = fkmD⋅g.


направление движения системы
Рис. 2.2

Ускорения и перемещения точек системы получаются дифференцированием и интегрированием зависимостей между линейными и угловыми скоростями точек системы. Приняв скорость груза VA , получим соотношения

ωVA/RB; Vk = VE=ωB⋅ rB=(VA /RB) rBωD = Vk/(K⋅ CV) = (VA⋅ rB)/(RB⋅ 2RD); 
V0ωD⋅ RD = (VA⋅ rB)/2RB

Можно продифференцировать и проинтегрировать выше приведенные формулы и получить выражения

aA , εaA/RB; εD = (aA⋅ rB)/(RB⋅ 2R); a0 = (aA⋅ rB)/2R;

δSA , δφ δSA/RB;  δφD = (δSA⋅ rB)/(RB⋅ 2RD);  δS0 = ( δSD⋅ rB)/2R;

Сообщим системе возможное перемещение в направлении ее действительного движения. Силы и моменты, действующие на систему, совершат элементарную работу. Сумма всех работ должна быть равна нолю. Момент сопротивления отнесем к внешним воздействиям. Это позволит считать данную систему идеальной. Составим общее уравнение динамики (уравнение работ):

GA⋅ δSA - ФA⋅ δSMBФδφ- ФDδS0 MDФ MсопрδφD =0 

Подставим данные задачи и получим:

Сократив на δSA - задаваемое нами возможное перемещение груза А получим:

Из этого соотношения определим ускорение груза  


Из найденных ранее соотношений можно определить: εB , a0 , εD .

При решении задачи этим методом внутренние силы в уравнения не входят. Для определения натяжения нитей нужно сделать эти силы внешними, для чего разделяем систему на части. Рассмотрим отдельно груз А, на который действуют силы  ФA, GA и сила TAB, ставшая внешней (рис. 2.3). Для этой системы можно написать или принцип Даламбера или общее уравнение динамики.

GA - ФA  - TAB = 0 (принцип Даламбера),

GA⋅ δSA - ФA⋅ δSA  - TAB⋅ δSA = 0 (общее уравнение динамики).

Находим натяжение нити: 

TAB GA - ФA = mAg - mAaA = mA(g - aA).
принцип Даламбера или общее уравнение динамики
Рис. 2.3

Для определения натяжения нити между телами B и можно составить общее уравнение динамики (или написать принцип Даламбера) для тела B или D.

Рассмотрим тело D (рис. 2.4). Покажем действующие внешние силы и силы инерции. Натяжение нити ТBD стало внешней силой. Приняв за возможное перемещение угол поворота тела - δφD составим уравнение работ.

действующие внешние силы и силы инерции
Рис. 2.4

Для проверки результатов можно написать общее уравнение динамики (или принцип Даламбера) для блока B.