Расчет угловой скорости барабана

Задача

         Однородный барабан 1 массой M и радиусом r1 приводится в движении из состояния покоя приложенным моментом mвр. Груз 2 массой m посредством невесомой нити, намотанной на барабан, движется по шероховатой поверхности, коэффициент трения скольжения которой равен f (рисунок 3.6).
Определить угловую скорость барабана
Рисунок 3.6
         Определить угловую скорость барабана в 4 случаях:
         а) mвр = A;
         б) mвр at, где a – постоянная, t – время;
         в) mвр = bφ, где b – постоянная, φ – угол поворота барабана;
         г) mвр = cφ, где c – постоянная, φ – угловая скорость барабана.

Пример решения

         1 Механическая система состоит из двух тел: барабана 1, вращающегося вокруг оси x, и груза 2, движущегося поступательно.
         2 Выделим все силы, действующие на систему: P1(P1 = Mg) – сила тяжести барабана;R1 и R2 – составляющие реакции барабана по осям Oz и Oy;mвр – вращающий момент; P2(P2 = Mg)  – сила тяжести груза;N – нормальная реакция плоскости; Fтр(FтрfN = fmg) – сила трения при скольжении груза о плоскость.
         3 Согласно теореме об изменении момента количества движения механической системы относительно оси  
 dKx/dt = Mx(Fje),
где dKx/dt = Mx(Fje) = mвр - fmgr1;
         Kx – кинетический момент системы.
         Кинетический момент системы определяется по формуле
 Kx = kб + kгр
 
    где kб – кинетический момент барабана;
            kгр – кинетический момент груза;
          kб = Jxω = Mr12ω/2;
          kгр = mV2h = mωr12.
Тогда Kx = kб + kгр = Mr12ω/2 + mωr12 = ωr12(M + 2m)/2.
         Итак, Kx ωr12(M + 2m)/2.
         Окончательно получим
                   r12(M + 2m)(dω/dt)/2 = mвр - fmgr1.                    (3.15)
         Решим последнее соотношение относительно угловой скорости барабана в четырех случаях, указанных в условии задачи.
         Случай а) mвр = A (A = const). 
         Для  удобства в выражении (3.15) введем для момента инерции системы обозначение
 Jc = (M + 2m)r12/2.
Тогда  Jcdω/dt = A - fmgr1.
         Разделив переменные и проинтегрировав обе части уравнения, получим
 
Окончательно будем иметь
 ω = 2(A - fmgr1)t/((M + 2m)r12).

         Случай б) mвр at.
 Jcdω/dt at - mg⋅fr1.
         Разделив переменные и проинтегрировав обе части этого уравнения
получим 
 ω = at2- 2mg⋅fr1t/((M + 2m)r12).
 
         Случай в) mвр = bφ.
  Jcdω/dt = bφ - mg⋅fr1.
         Так как правая часть зависит от угла поворота φ и прямого разделения    переменных совершить невозможно, произведем замену переменной t:
 (dω/dt)(dφ/dφ) = ωdω/dφ,
тогда Jcωdω/dφ = bφ - mg⋅fr1.
         Разделим переменные и проинтегрируем полученное уравнение
откуда
 
         Случай г)
Разделив переменные, проинтегрируем и определим угловую скорость