Расчет угловой скорости барабана

Пример расчета угловой скорости барабана

Задача

Однородный барабан 1 массой M и радиусом r1 приводится в движении из состояния покоя приложенным моментом mвр. Груз 2 массой m посредством невесомой нити, намотанной на барабан, движется по шероховатой поверхности, коэффициент трения скольжения которой равен f (рисунок 3.6).

Определение угловой скорости барабана
Рисунок 3.6

Определить угловую скорость барабана в 4 случаях:

  • а) mвр=A;
  • б) mвр=a∙t, где a – постоянная, t – время;
  • в) mвр=b∙φ, где b – постоянная, φ – угол поворота барабана;
  • г) mвр=c∙φ, где c – постоянная, φ – угловая скорость барабана.

Пример решения

Механическая система состоит из двух тел: барабана 1, вращающегося вокруг оси x, и груза 2, движущегося поступательно.

Выделим все силы, действующие на систему:
P1 = M∙g – сила тяжести барабана;
R1 и R2составляющие реакции барабана по осям Oz и Oy;
mврвращающий момент;
P2 = M∙g – сила тяжести груза;
N – нормальная реакция плоскости;
Fтр = f∙N = f∙m∙gсила трения при скольжении груза о плоскость.

Согласно теореме об изменении момента количества движения механической системы относительно оси

dKx/dt = ∑Mx(Fje),

где

dKx/dt = ∑Mx(Fje) = mвр - f∙m∙g∙r1;

Kx – кинетический момент системы.

Кинетический момент системы определяется по формуле

Kx = kб + kгр,

где kб – кинетический момент барабана;
kгр – кинетический момент груза;
kб = Jx∙ω = M∙r12∙ω/2;
kгр = m∙V2∙h = m∙ω∙r12
.

Тогда

Kx = kб + kгр =
= M∙r12∙ω/2 + m∙ω∙r12 =
= ω∙r12∙(M + 2∙m)/2
.

Окончательно получим

r12(M + 2m)(dω/dt)/2 =
= mвр - f∙m∙g∙r1
.     (3.15)

Решим последнее соотношение относительно угловой скорости барабана в четырех случаях, указанных в условии задачи.

Случай (а) mвр=A (A = const).

Для удобства в выражении (3.15) введем для момента инерции системы обозначение

Jc = (M + 2m)r12/2.

Тогда

Jc∙dω/dt = A - f∙m∙g∙r1.

Разделив переменные и проинтегрировав обе части уравнения, получим

Окончательно будем иметь

ω = 2(A - f∙m∙g∙r1)∙t/((M + 2m)∙r12).

Случай (б) mвр = a∙t.

Jc∙dω/dt = a∙t - m∙g∙f∙r1.

Разделив переменные и проинтегрировав обе части этого уравнения

получим

ω = a∙t2-2m∙g∙f∙r1∙t/((M+2m)∙r12).

Случай (в) mвр = b∙φ.

Jc∙dω/dt = b∙φ - m∙g∙f∙r1.

Так как правая часть зависит от угла поворота φ и прямого разделения переменных совершить невозможно, произведем замену переменной t:

(dω/dt)∙(dφ/dφ) = ω∙dω/dφ,

тогда

Jc∙ω∙dω/dφ = b∙φ - m∙g∙f∙r1.

Разделим переменные и проинтегрируем полученное уравнение

откуда

Случай (г)

Разделив переменные, проинтегрируем и определим угловую скорость

Другие примеры решения задач >>