Расчет угловой скорости кривошипа

Задача

         Эпициклический механизм, расположенный в горизонтальной плоскости, приводится в движение из состояния покоя с помощью постоянного вращающего момента Mвр, приложенного к кривошипу OA (рисунок 4.2).

Определить угловую скорость кривошипа

Рисунок 4.2

Определить угловую скорость кривошипа ω в зависимости от угла поворота φ, если радиус неподвижного колеса 1 равен r1, радиус колеса 2 – r2, вес колеса 2 равен G, вес кривошипа – P. Колесо 2 считать однородным диском, кривошип – однородным стержнем.

Пример решения

         В данной механической системе кинетической энергией обладают колесо 2 (T2) и кривошип OA (TOA), работу совершает вращающий момент на угловом перемещении φ. Согласно теореме об изменении кинетической энергии
 T - T0 = A(Mвр),
где     T = T2 + TOA
         T0 = 0 (т.к. в начальный момент времени система находилась в покое);
         A(Mвр) = Mврφ.
         Кинетическая энергия кривошипа
 TOA = JOAω2/2,
момент инерции кривошипа относительно оси  
 JOA = POA2/(3g) = P(r1 + r2)2/(3g).
Тогда
 TOA = P(r1 + r2)2ω2/(23g).
         Колесо 2 совершает плоско-параллельное движение, одновременно участвуя в двух вращениях вокруг параллельных осей O и A в одном направлении. Мгновенная ось проходит через точку C параллельно осям O и A. Следовательно,
 T2 = JCω2/2,
где по теореме Штейнера-Гюйгенса
 JC = JO + Gr22/g = Gr22/(2g) + Gr22/g = 3Gr22/(2g),
угловая скорость колеса 2
 ω2 = νA/AC = ωOA/AC = ω(r1 + r2)/r2.
Таким образом,
 T23Gr22ω2(r1 + r2)2/(4gr22) = 3Gω2(r1 + r2)2/(4g)
и, следовательно,
 T = ω2(r1 + r2)2(2P + 9G)/(12g).
         Итак,
 ω2(r1 + r2)2(2P + 9G)/(12g) = Mврφ,
откуда