Расчет угла отклонения

Пример расчета угла отклонения

Задача

С невесомым валом AB шарнирно скреплен однородный стержень OD длиной l и массой m1, имеющий на конце груз массой m2.

Угол отклонения стержня от вертикали
Рисунок 1.4

Вал и стержень вращаются вокруг оси OZ с постоянной угловой скоростью ω. Известны b1 и b2 – расстояния от опор до точки крепления стержня (рисунок 1.4).

Определить угол отклонения стержня от вертикали - α, как функцию угловой скорости и реакции опор A и B.

Решение

Применим принцип Даламбера для данной системы. Проведем вращающиеся вместе с валом и стержнем оси координат Axyz так, чтобы стержень OD находился в плоскости yAz. Внешние силы: G1, G2; реакции опор: xA, yA, zA, xB, yB; силы инерции Φ1 и Φ2 (рисунок 1.5).

Отклонение стержня от вертикали происходит за счет сил инерции. Определенной угловой скорости соответствует свой угол отклонения. Величина силы инерции стержня определяется из формулы

Φ1=m1aC+m1∙ω2∙l/2∙sinα

и направлена перпендикулярно к оси вращения, в сторону, противоположную ускорению центра масс стержня.

Эпюра распределения сил инерции стержня представляет собой треугольник (элементарные силы инерции частичек стержня возрастают с удалением от точки O к точке D, т.к. растет их ускорение с увеличением радиуса вращения). Результирующая таких сил приложена на расстоянии 2/3 длины стержня от точки O (см. раздел «Статика», распределенные нагрузки).

Сила инерции точечной массы

Φ2=m2∙ω2∙l∙sinα.

Напишем для равновесия стержня при данной угловой скорости ω уравнение моментов относительно точки O – точки крепления стержня:

Применение принципа Даламбера для системы
Рисунок 1.5
-G1∙l/2∙sinα - G2∙l∙sinα + Φ1∙2/3∙l∙cosα + Φ2∙l∙cosα=0,

подставляем данные:

m1g∙l/2∙sinα - m2g∙l∙sinα +
+ m1∙ω2∙l/2∙sinα∙2/3∙l∙cosα +
+ m2∙ω2∙l∙sinα∙l∙cosα=0

определяем угол:

Для определения реакций опор вала составим уравнения равновесия:

Σx=0,       xA+xB=0,
Σy=0,       yA+yB12=0,
Σz=0,       -G1-G2+zA=0,
ΣMx=0,
-G1∙l/2∙sinα-G2lsinα-yB(b1+b2)-Φ1(b2-2/3∙lcosα)-Φ2(b2-lcosα)=0,
ΣMy=0,       xB(b1+b2)=0
.

ΣMz=0 - вращающие моменты отсутствуют, система вращается по инерции, с постоянной угловой скоростью.

Из имеющихся пяти уравнений, подставляя данные задачи, можно найти пять неизвестных реакций в опорах A и B.

Другие примеры решения задач >>