Натяжение троса и реакция опоры

Задача

    Однородная балка AB  весом P  закреплена в точке A  шарнирно-неподвижной опорой; трос BC, удерживающий балку, составляет с ней угол α. Определить натяжение троса и реакцию опоры A (рисунок 2.2, а).

Решение

    Силы, действующие на балку, приложены к разным ее точкам, поэтому в данной задаче нужно рассмотреть равновесие балки. Балка однородная, поэтому сила P  (вес балки) приложена к ее середине (рисунок 2.2, б). Реакция троса – сила  T – направлена вдоль троса. Направление реакции опоры  A можно определить, воспользовавшись теоремой о трех силах. По этой теореме линии действия трех непараллельных сил PT и RA должны пересекаться в одной точке. То есть угол β  должен быть равен углу α. Далее возможно геометрическое или аналитическое решение.


Определить натяжение троса и реакцию опоры
Рисунок 2.2

    Так как система находится в равновесии, то 

 P  T  RA=0. (2.7)

    Строим это геометрическое равенство (рисунок 2.3), начиная с известной силы P ; под углом α к горизонтали через конец векторa P проводим линию MN, вдоль которой направлена сила T. Так как сумма всех сил должна быть равна нулю, то вектор  RA должен заканчиваться в начале вектора P под углом β к горизонту (линия KL).


геометрическое равенство
Рисунок 2.3

    Точка пересечения линий MN и KL – это конец вектора T и начало вектора RA. Далее можно определить величины T и RA, умножив длины отрезков на выбранный масштаб или воспользовавшись теоремой синусов:


    Аналитическое решение предполагает составление двух уравнений. Проецируем векторное равенство (2.7) на выбранные оси координат (рисунок 2.2,б) и получаем два уравнения с двумя неизвестными:


 xi=0, -Tcosα+RAcosβ=0;
                                          yi=0, -P+Tsinα+RAsinβ. (2.10)

    Из этих уравнений определяются величины T и RA: