Равновесие тела на шероховатой наклонной плоскости

Задача

    Тело весом G=100 Н удерживается в равновесии на шероховатой наклонной плоскости силой P, действующей под углом β=15o  (рисунок 2.19). Угол наклона плоскости α=45o, коэффициент трения между телом и плоскостью  f=0,1. Определить величину силы P при равновесии тела на шероховатой наклонной плоскости. 

Решение

    На тело действуют силы N, GP и сила трения Fmp. Возможны два случая предельного равновесия тела и соответственно два предельных значения силы P и два направления (по наклонной плоскости вверх и вниз) силы трения в зависимости от направления возможного скольжения тела (вниз по наклонной плоскости или вверх).


Определить величину силы   при равновесии тела на шероховатой наклонной плоскости
Рисунок 2.19

    Составим уравнения равновесия в виде суммы проекций сил на координатные оси x  и y  (формулы 1.27 раздела 1.9):

    - в случае, когда тело скользит вверх 
 xi=0, Pcosβ - Fmp - Gsinα=0;
 yi=0, Psinβ+N - Gcosα=0.
    По закону Кулона  Fmp=fN. Решая уравнения относительно  P, получаем

    Подставляя числовые значения, имеем

  P=100(sin45o+0,1cos45o)/(cos15o+0,1sin15o)≈78    Н;

    - в случае, когда тело скользит вниз 

 xi=0, Pcosβ + Fmp - Gsinα=0;
 yi=0, Psinβ+N - Gcosα=0.

    Решая эти уравнения относительно  P, получаем

 P=G(sinα - fcosα)/(cosβ - fsinβ)
P=100(sin45o - 0,1cos45o)/(cos15- 0,1sin15o)≈68  Н.

    Таким образом, для силы P  при равновесии тела имеем условие
  68≤ 78  Н.