Расчет абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки

Пример расчета абсолютной скорости и ускорения

Задача

определить абсолютные скорость и ускорение точки
Рисунок 3.5

Диск радиуса R=0,5 м вращается вокруг оси, лежащей в его плоскости и касающейся диска, с угловой скоростью ω=πt2 c-1 (рисунок 3.5). По ободу диска движется точка M по закону: ∪OM=πRt2/6 м. В момент времени t=2 c определить абсолютные скорость и ускорение точки M.

Решение

Точка M в данном примере совершает сложное движение, которое может быть разложено на два движения: относительное движение - движение точки M по движущемуся диску (именно с ним может быть скреплена подвижная система отсчета) и переносное движение - вращение диска вместе с находящейся на нем точкой.

Поскольку переносное движение по определению это движение той точки диска, в которой находится в данный момент точка M, то сначала необходимо определить положение точки M на диске в момент времени t=2 c:


Положение точки в заданный момент времени
Рисунок 3.6

Центральный угол

∠OO1M=2π/3=120o.

Расчет скорости

В относительном движении закон движения задан естественным способом, поэтому скорость определяется как производная его дуговой координаты и направлена по касательной к траектории относительного движения в плоскости диска:

Vr=dOM/dt=2πRt/3;
t=2 c,
Vr=2π∙0,5∙2/3=2,09 м/с.

Переносное движение в данном случае - вращение вокруг неподвижной оси O2O3, расстояние до которой от точки M равно KM.

KM=h=R+Rsin30o=3R/2=3∙0,5/2=0,75 м;
Ve=ω∙h=πt2∙h=π∙22∙0,75=9,42 м/с.

По направлению вектора угловой скорости ω определяем, что при вращении вокруг оси O2O3 точка M движется к нам, то есть вектор Ve перпендикулярен плоскости диска и для выбранной системы отсчета Mxyz, скрепленной с диском, направлен по оси Mx.

Абсолютная скорость точки в нашем примере определяется как геометрическая сумма векторов Ve и Vr:

V=Ve + Vr,

численная величина:

Спроецировав векторную сумму на выбранные оси координат, получим проекции абсолютной скорости на эти оси:

Vx=Ve=9,42 м/с;
Vy=Vr∙cos30o=2,09∙0,87=1,82 м/с;
Vz=Vr∙sin30o=2,09∙0,5=1,045 м/с.

Направление вектора скорости определяют направляющие косинусы, то есть углы, которые вектор скорости составляет с выбранными осями:

Расчет ускорения

В данном примере и переносные и относительные движения точки M - криволинейные, поэтому абсолютное ускорение определяется по формуле:

Составляющие ускорения определяются независимо друг от друга. В переносном движении точка M вращается вокруг оси O2O3 и движется по окружности радиуса h (рисунок 3.7). Нормальное ускорение в этом движении:

aen2h=(πt2)2h=(π∙22)2∙0,75=118,32 м/с2.
Составляющие ускорения
Рисунок 3.7

Этот вектор направлен от точки M к точке K (к оси вращения).

Касательное ускорение в переносном движении определится по формуле

aeτ=ε∙h,  ε=dω/dt=2πt.

Знак производной положителен, то есть вращение ускоренное и направления векторов Ve и aeτ совпадают:

aeτ=2πt∙h=2∙π∙2∙0,75=9,42 м/с2.

В относительном движении точка M движется по окружности радиуса R. Нормальное ускорение:

Этот вектор направлен от точки M к центру окружности - точке O1.

Касательное ускорение в относительном движении:

Производная от относительной скорости получена со знаком плюс, поэтому aeτ совпадает по направлению с Vr.

Кориолисово ускорение определяется по формуле

ak=2ωe∙Vrsin120o=
=2∙πt2∙2πRt/3∙0,866=
=2∙π∙22∙π∙0,5∙2∙0.866=45,54 м/с2
.

Вектор кориолисова ускорения должен быть перпендикулярен векторам ωe и Vr (в нашем случае перпендикулярен плоскости чертежа). Если смотреть навстречу вектору ak, то мы должны видеть поворот вектора ωe (мысленно перенесенного в точку) на кратчайший угол до совмещения с вектором Vr, происходящий против хода часовой стрелки. То есть в этом примере вектор ak направлен по оси Mx к нам.

Направление кориолисова ускорения может быть определено и по правилу Жуковского. Проецируем вектор V на плоскость, перпендикулярную вектору ωe (на плоскость Mxy; в данном примере эта проекция совпадает с осью My), и поворачиваем проекцию Vr на 90o в сторону вращения, то есть вектор ak направлен к нам по оси Mx.

Для определения абсолютного ускорения проецируем векторное равенство (3.6) на оси координат:

ax=aencos90o+aeτcos0o+arncos90o+arτcos90o+akcos0o=
=0+9,42∙1+0+0+45,54∙1=54,96 м/с2;
ay=aencos180o+aeτcos90o+arncos120o+arτcos30o+akcos90o=
=-112,32+0+8,76(-0,5)+1,046∙0,87+0=-121,79 м/с2;
az=aencos90o+aeτcos90o+arncos30o+arτcos60o+akcos90o=
=0+0+8,76∙0,87+1,046∙0,5+0=8,14 м/с2
.

Направление вектора ускорения определяется с помощью направляющих косинусов (см. формулы (3.7)):

Другие примеры решения задач >>