Абсолютная скорость и абсолютное ускорение

Задача    
определить абсолютные скорость и ускорение точки
Рисунок 3.5
Диск радиуса R=0,5 м  вращается вокруг оси, лежащей в его плоскости и касающейся диска, с угловой скоростью ω=πt2 c-1  (рисунок 3.5). По ободу диска движется точка   по закону:∪OM=πRt2/6 м . В момент времени t=2 c с определить абсолютные скорость и ускорение точки M .
Решение
     Точка  M в данном примере совершает сложное движение, которое может быть разложено на два движения:  относительное движение - движение точки  M по движущемуся диску (именно с ним может быть скреплена подвижная система отсчета) и переносное движение - вращение диска вместе с находящейся на нем точкой. 
Поскольку переносное движение по определению это движение той точки диска, в которой находится в данный момент точка  M , то сначала необходимо определить положение точки M  на диске в момент времени t=2 c : 

положение точки
Рисунок 3.6

     Центральный угол
   ∠OO1M=2π/3=120(рисунок 3.6).
     В относительном движении закон движения задан естественным способом, поэтому скорость определяется как производная его дуговой координаты и направлена по касательной к траектории относительного движения в плоскости диска:
Vr=dOM/dt=2πRt/3;
 t=2 c,   Vr=2⋅3.14⋅0,5⋅2=2,09 м/с.
     Переносное движение в данном случае  - вращение вокруг неподвижной оси O2O3 , расстояние до которой от точки M  равно KM.
                        KM=h=R+Rsin30o=3R/2=30,5/2=0,75 м;
                          Ve=ωh=πt2h=3,14220,75=9,42 м/с.
      По направлению вектора угловой скорости  ω определяем, что при вращении вокруг оси O2O3  точка M  движется к нам, то есть вектор Ve  перпендикулярен плоскости диска и для выбранной системы отсчета Mxyz , скрепленной с диском, направлен по оси Mx .

     Абсолютная скорость в нашем примере определяется как геометрическая сумма векторов  Ve и Vr :  V=Ve   Vr  , численная величина:

     Спроецировав векторную сумму на выбранные оси координат, получим проекции абсолютной скорости на эти оси:
                                    Vx=Ve=9,42 м/с;
Vy=Vrcos30o=2,090,87=1,82 м/с;
                                    Vz=Vrsin30o=2,090,5=1,045 м/с.
      Направление вектора скорости определяют направляющие косинусы, то есть углы, которые вектор скорости составляет с выбранными осями: 

     В данном примере и переносные и относительные движения точки M -  криволинейные, поэтому абсолютное ускорение определяется по формуле:

     Составляющие ускорения определяются независимо друг от друга. В переносном движении точка M  вращается вокруг оси O2O3  и движется по окружности радиуса h  (рисунок 3.7). Нормальное ускорение в этом движении:
aen=ω2h=(πt2)2h=(3,14⋅ 22)2⋅ 0,75=118,32 м/с2.
 
Составляющие ускорения
Рисунок 3.7

     Этот вектор направлен от точки M   к точке K  (к оси вращения).
     Касательное ускорение в переносном движении определится по формуле
                                              aeτ=εh,  ε=dω/dt=2πt.
     Знак производной положителен, то есть вращение ускоренное и направления векторов Ve  и  aeτ совпадают:
                                   aeτ=2πth=23,1420,75=9,42 м/с2.
      В относительном движении точка M движется по окружности радиуса R. Нормальное ускорение:

     Этот вектор направлен от точки M  к центру окружности - точке O1 .
     Касательное ускорение в относительном движении:

     Производная от относительной скорости получена со знаком плюс, поэтому aeτ  совпадает по направлению с Vr .
     Кориолисово ускорение определяется по формуле
                            ak=2ωe×Vr; ak=2ωeVrsin120o=2πt22πRt/30,866=
                            =23,14223,140,520.866=45,54 м/с2.
     Вектор кориолисова ускорения должен быть перпендикулярен векторам ωe  и Vr  (в нашем случае перпендикулярен плоскости чертежа). Если смотреть навстречу вектору ak , то мы должны видеть поворот вектора ωe  (мысленно перенесенного в точку  ) на кратчайший угол до совмещения с вектором Vr , происходящий против хода часовой стрелки. То есть в этом примере вектор ak  направлен по оси  Mx к нам.

     Направление кориолисова ускорения может быть определено и по правилу Жуковского. Проецируем вектор V  на плоскость, перпендикулярную вектору ωe  (на плоскость Mxy ; в данном примере эта проекция совпадает с осью My ), и поворачиваем проекцию Vr   на  90o в сторону вращения, то есть вектор ak  направлен к нам по оси Mx .

     Для определения абсолютного ускорения проецируем векторное равенство (3.6) на оси координат:

ax=aencos90o+aeτcos0o+arncos90o+arτcos90o+akcos0o=

=0+9,421+0+0+45,541=54,96 м/с2;

ay=aencos180o+aeτcos90o+arncos120o+arτcos30o+akcos90o=

=-112,32+0+8,76(-0,5)+1,0460,87+0=-121,79 м/с2;

az=aencos90o+aeτcos90o+arncos30o+arτcos60o+akcos90o=

=0+0+8,760,87+1,046⋅ 0,5+0=8,14 м/с2.

 

     Направление вектора ускорения определяется с помощью направляющих косинусов (см. формулы (3.7)):