Нахождение скорости точек для данного положения механизма

Задача   
  Для данного положения механизма, изображенного на рисунке 2.27, определить скорости и ускорения точек B  и K . Известны:  O1A=20см, АВ=40см, О2В=15см, АК=25см,  О1АВ=150о∠О2ВА=90о.
Кривошип O1A  в данный момент вращается с угловой скоростью ωО1А=2 с-1 и угловым ускорением  εО1А=2 с-2 (против хода часовой стрелки).

Решение
определить скорости и ускорения точек
Рисунок 2.27

     В данном механизме точки А  и B  могут перемещаться по дугам окружностей с радиусами O1A  и  О2В соответственно;  шток  АВ совершает плоскопараллельное движение. Определим скорость точки А :
                              VА=ωО1АO1A=2⋅20=40 см/с.
     Скорость точки А  перпендикулярна отрезку O1A  и направлена вверх. Скорость точки B  , как точки, вращающейся вокруг точки О2 , перпендикулярна О2В , в нашем случае направлена вдоль линии АB .
     Определим скорости точек B  и K  разными способами:

     1) По теореме о скоростях точек в плоскопараллельном движении можно написать:
VB=VA   VBA. (2.17)

Треугольник скоростей
 
Рисунок 2.28

     Точка  A выбрана за полюс, т.к. о ней все известно; направления линий, вдоль которых направлены VB  и VBA , также известны. Строим соответствующий формуле (2.17) треугольник (рисунок 2.28). Из произвольной точки в масштабе откладываем вектор  VA с соответствующим направлением. Из конца вектора VA  проводим линию, перпендикулярную линии, проходящей через шток АB . Часть этой линии будет соответствовать вращательной скорости точки B  вокруг полюса А . Длину вектора VBA   получим, если из точки O  проведем линию, параллельную скорости точки B . 
    Получившийся в результате такого построения треугольник соответствует формуле (2.17). Величины векторов VB  и  VBA   можно получить, умножив длины стрелок на масштаб.
     Если построение выполнялось не в масштабе, а лишь с соблюдением геометрии, то можно воспользоваться теоремой синусов:
                                       V/sin90o=VB/sin30o=VBA/sin60o
     Из этого соотношения определяются величины VB  и VBA  соответственно:

    Определив скорость точки  B во вращательном движении вокруг точки А  ( VBA), можно определить угловую скорость штока АB :
ωAB=VBA/AB=34,64/40=0,87 c-1.
    Направление вектора  VBA показывает, что вращение точки B  вокруг точки  А и, соответственно, штока АB  происходит в направлении хода часовой стрелки (рисунки 2.27, 2.28).
    Для определения скорости точки  K можно написать
VKA=ωAB⋅AK=0,87⋅25=21,65 см/с.
      Этот вектор также как и VBA   перпендикулярен линии, проходящей через точки А  и B , и на рисунке 2.28 он будет отложен по вектору VBA . Можно написать соотношение:
                                    VKA/VBA=ak/ab=0,87⋅25/0,87⋅40=5/8,
 

которое определяет положение точки K  на линии  AB   и тем самым определяет величину и направление вектора  VK (рисунок 2.28):

    2) Скорость точки B  может быть определена другим способом: с помощью следствия из теоремы о скоростях точек в плоскопараллельном движении (см. раздел 2.3.1.2).
Для данной задачи это следствие запишется
                                        VAcos60o=VBcos0o,
т.е.  VB=VAcos60o=401/2=20 см/с.

    3) На практике более распространен способ определения скоростей точек в плоскопараллельном движении с помощью мгновенного центра скоростей (МЦС). Он находится в точке пересечения перпендикуляров к скоростям точек движущегося тела и для шатуна   может быть записано соотношение (рисунок 2.27):
VA/ACV=VB/BCV=VK/KCV=ωAB.
     Так как геометрия механизма известна, то все расстояния и величины скоростей определяются:
ACV=AB/cos30o=40/0,87=46,19 см;   BCV=ABtg30o=40/√3=23,09 см;  
ωAB=VA/ACV=40/46,19=087 c-1;
VB=VA/ACVBCV=40⋅23,09/46,19=20 см/с;
VK=VA/ACV⋅KCV=40⋅27,55/46,19=23,85 см/с.
    Определив скорость точки B , которая принадлежит и штоку AB  и звену О2В , можно найти угловую скорость О2В :
                                         ωО2В=VB/О2В=20/15=1,33 c-1.
      Для определения ускорений точек B  и  K определим ускорение точки A , вращающейся вокруг неподвижного центра О1 :

    Приняв точку   за полюс запишем
   В последней формуле первые два слагаемые известны, а третье можно определить:
                                      aBAц=ωAB2AB=0,87240=30,28 см/с2.

Векторная сумма
Рисунок 2.29

    Этот вектор направлен от точки B  к полюсу A .
Вращательное ускорение точки  B вокруг  A  - aBAвр  - по величине не определяется, но известно его направление:
aBAвр  AB
    Учитывая, что точка B  принадлежит двум звеньям и что звено О2В  вращается вокруг неподвижной точки О2 , можно написать формулу  aB=aBn   aBτ  и, следовательно,
    В формуле (2.18) aBn  - нормальное ускорение точки B  при вращении вокруг О2  известно:
 aBn=ωО2В2О2В=1,33215=26,53 см/с2.

    Этот вектор направлен от точки  B к точке  О2  . Вектор aBτ  известен только по направлению:
  aBτ BО2

    В формуле (2.18) две неизвестные по модулю величины. Эту векторную сумму можно построить (рисунок 2.29). Пересечение линии, проведенной из конца вектора aBAц  перпендикулярно  AB  (так направлен вектор aBAвр ) и линии, проведенной из конца вектора aBn  перпендикулярно  BО2 (так направлен вектор aBτ ) определяют вектор aB , так как это построение отражает формулы:

     Если данное построение выполнялось с соблюдением масштаба, то измерив длины соответствующих отрезков, можно определить по величине aB, aBτaBAвр.

    Аналитическое определение величин этих векторов можно выполнить, спроецировав формулу (2.18) на выбранные оси координат ( xBy). Расчет упрощается, если одну из осей совместить со штоком AB  (рисунок 2.29):

      aBn⋅cos90o+aBτ⋅cos0o= aAn⋅cos30o+aAτ⋅cos60o+aBAц⋅cos0o+aBAвpcos90o(*)
 aBn⋅cos180o+aBτ⋅cos90o= aAn⋅cos60o+aAτ⋅cos150o+aBAц⋅cos90o+aBAвpcos180o;(**)

     Из этих двух выражений определяются величины  aBτ и aBAвp .
     Из (*):
        aBτ= aAn⋅cos30o+aAτ⋅cos60o+aBAц⋅cos0o=80√3/2+40/2+30,28⋅1=119,48 см/с2;
    из (**) :      
                      -aBn=aAn⋅cos60o+aAτ⋅cos150o+aBAвpcos180o;
                 -26,53=80/2-40√3/2-aBAвpaBAвp=80/2-40√3/2+26,53=32,13 см/с2;
     Определение этого вектора позволяет найти угловое ускорение штока AB:
                                 εAB=aBAвp/AB=32,13/40=0,80 с-2

     т.е. шток  AB ускоряется против хода часовой стрелки, его вращение в данный момент замедленное. Определение aBτ  дает возможность найти угловое ускорение звена BО2 :
  εBO2=aBτ/BО2=119,48/15=7,96 с-2.

     Звено BО2  вращается ускоренно (направления ωBO2ω   и εBO2  совпадают).
    Полное ускорение точки  B

    Вектор  aB составляет угол  γ с звеном BО2 :
             tg γ=aBτ/aBn=119,48/26,53=4,5,     γ=arctg 4,50≈77o30'.
         

    Ускорение точки  K находится из формулы:

в которой все слагаемые определяются: aAn  и aAτ  уже найдены:
                           aKAц=ωAB2⋅AK=0,872⋅25=18,92 см/с2;
                              aKAвр=εABAK=0,80⋅25=20,0 см/с2.

  

Рисунок 2.30
     Спроецировав формулу (***) на оси системы xKy , получим:
aKx= aAn⋅cos30o+aAτ⋅cos60o+aKAц⋅cos0o+aKAвpcos90o=80√3/2+40/2
+18,92+20,0⋅0=107,72см/с2;
aKy= aAn⋅cos120o+aAτ⋅cos30o+aBAц⋅cos90o+aBAвpcos0o=80(-1/2)+40⋅0,86
+18,92⋅0+20⋅1=14,4 см/с2
 Полное ускорение точки K :

Определение угловой скорости и вращательного ускорения штока AB  позволяют найти его мгновенный центр ускорений. Для этого определим угол β :

мгновенный центр ускорений штока
 
Рисунок 2.31
                                 tgβ=εAB/ωAВ2=0,80/0,872=1,06,  β=arctg 1,06≈46o40'.

    Отложив от известных ускорений точек  A, B и   угол  β («в сторону ε »), получим точку пересечения этих лучей Q  (рисунок 2.31), которая и является мгновенным центром ускорений штока AB .
    Ускорения точек должны соответствовать соотношениям: