Расчет скоростей и ускорений точек для заданного положения механизма

Расчет скоростей и ускорений точек для заданного положения механизма

Задача

Для данного положения механизма, изображенного на рисунке 2.27, определить скорости и ускорения точек B и K. Известны: O1A=20см, АВ=40см, О2В=15см, АК=25см, ∠О1АВ=150о, ∠О2ВА=90о.

Кривошип O1A в данный момент вращается с угловой скоростью ωО1А=2 с-1 и угловым ускорением εО1А=2 с-2 (против хода часовой стрелки).

Решение

Определение скоростей и ускорений точек
Рисунок 2.27

В данном механизме точки А и B могут перемещаться по дугам окружностей с радиусами O1A и О2В соответственно, шток АВ совершает плоскопараллельное движение. Определим скорость точки А:

VАО1А∙O1A=2∙20=40 см/с.

Скорость точки А перпендикулярна отрезку O1A и направлена вверх. Скорость точки B, как точки, вращающейся вокруг точки О2, перпендикулярна О2В, в нашем случае направлена вдоль линии АB.

Определим скорости точек B и K разными способами:

1) По теореме о скоростях точек в плоскопараллельном движении можно написать:

VB=VA + VBA. (2.17)
Треугольник скоростей
Рисунок 2.28

Точка A выбрана за полюс, т.к. о ней все известно; направления линий, вдоль которых направлены VB и VBA, также известны.

Строим соответствующий формуле (2.17) треугольник (рисунок 2.28). Из произвольной точки в масштабе откладываем вектор VA с соответствующим направлением. Из конца вектора VA проводим линию, перпендикулярную линии, проходящей через шток АB. Часть этой линии будет соответствовать вращательной скорости точки B вокруг полюса А. Длину вектора VBA получим, если из точки O проведем линию, параллельную скорости точки B.

Получившийся в результате такого построения треугольник соответствует формуле (2.17). Величины векторов VB и VBA можно получить, умножив длины стрелок на масштаб.

Если построение выполнялось не в масштабе, а лишь с соблюдением геометрии, то можно воспользоваться теоремой синусов:

VA /sin90o=VB /sin30o=VBA /sin60o

Из этого соотношения определяются величины VB и VBA соответственно:

Определив скорость точки B во вращательном движении вокруг точки А (VBA), можно определить угловую скорость штока АB:

ωAB=VBA/AB=34,64/40=0,87 c-1.

Направление вектора VBA показывает, что вращение точки B вокруг точки А и, соответственно, штока АB происходит в направлении хода часовой стрелки (рисунки 2.27, 2.28).

Для определения скорости точки K можно написать

VKAAB∙AK=0,87∙25=21,65 см/с.

Этот вектор также как и VBA перпендикулярен линии, проходящей через точки А и B, и на рисунке 2.28 он будет отложен по вектору VBA. Можно написать соотношение:

VKA/VBA=ak/ab=0,87∙25/0,87∙40=5/8,

которое определяет положение точки K на линии AB и тем самым определяет величину и направление вектора VK (рисунок 2.28):

2) Скорость точки B может быть определена другим способом: с помощью следствия из теоремы о скоростях точек в плоскопараллельном движении (см. раздел 2.3.1.2).

Для данной задачи это следствие запишется

VAcos60o=VBcos0o,
т.е.
VB=VAcos60o=40∙1/2=20 см/с.

3) На практике более распространен способ определения скоростей точек в плоскопараллельном движении с помощью мгновенного центра скоростей (МЦС). Он находится в точке пересечения перпендикуляров к скоростям точек движущегося тела и для шатуна может быть записано соотношение (рисунок 2.27):

VA/ACV=VB/BCV=VK/KCVAB.

Так как геометрия механизма известна, то все расстояния и величины скоростей определяются:

ACV=AB/cos30o=40/0,87=46,19 см;
BCV=ABtg30o=40/√3=23,09 см
;
ωAB=VA/ACV=40/46,19=0,87 c-1;
VB=VA/ACV∙BCV=40∙23,09/46,19=20 см/с;
VK=VA/ACV∙KCV=40∙27,55/46,19=23,85 см/с.

Определив скорость точки B, которая принадлежит и штоку AB и звену О2В, можно найти угловую скорость О2В:

ωО2В=VB2В=20/15=1,33 c-1.

Для определения ускорений точек B и K определим ускорение точки A, вращающейся вокруг неподвижного центра О1:

Приняв точку A за полюс запишем

В последней формуле первые два слагаемые известны, а третье можно определить:

aBAцAB2∙AB=0,872∙40=30,28 см/с2.
Векторная сумма
Рисунок 2.29

Этот вектор направлен от точки B к полюсу A.

Вращательное ускорение точки B вокруг A - aBAвр - по величине не определяется, но известно его направление:

aBAвр  AB

Учитывая, что точка B принадлежит двум звеньям и что звено О2В вращается вокруг неподвижной точки О2, можно написать формулу aB=aBnaBτ и, следовательно,

В формуле (2.18) aBn - нормальное ускорение точки B при вращении вокруг О2 известно:

aBnО2В2∙О2В=1,332∙15=26,53 см/с2.

Этот вектор направлен от точки B к точке О2. Вектор aBτ известен только по направлению:

aBτ2

В формуле (2.18) две неизвестные по модулю величины. Эту векторную сумму можно построить (рисунок 2.29).

Пересечение линии, проведенной из конца вектора aBAц перпендикулярно AB (так направлен вектор aBAвр) и линии, проведенной из конца вектора aBn перпендикулярно 2 (так направлен векторaBτ) определяют вектор aB, так как это построение отражает формулы:

Если данное построение выполнялось с соблюдением масштаба, то измерив длины соответствующих отрезков, можно определить по величине aB, aBτ, aBAвр.

Аналитическое определение величин этих векторов можно выполнить, спроецировав формулу (2.18) на выбранные оси координат (xBy). Расчет упрощается, если одну из осей совместить со штоком AB (рисунок 2.29):

aBncos90o+aBτcos0o=
=aAncos30o+aAτcos60o+aBAцcos0o+aBAвpcos90o;   (*)
aBncos180o+aBτcos90o=
=aAncos60o+aAτcos150o+aBAцcos90o+aBAвpcos180o;   (**)

Из этих двух выражений определяются величины aBτ и aBAвp.

Из (*):

aBτ=aAncos30o+aAτcos60o+aBAцcos0o=
=80∙√3/2+40/2+30,28∙1=119,48 см/с2;

из (**):

-aBn=aAncos60o+aAτcos150o+aBAвpcos180o;
-26,53=80/2-40∙√3/2-aBAвp;
aBAвp=80/2-40∙√3/2+26,53=32,13 см/с2;

Определение этого вектора позволяет найти угловое ускорение штока AB:

εAB=aBAвp/AB=32,13/40=0,80 с-2

т.е. шток AB ускоряется против хода часовой стрелки, его вращение в данный момент замедленное. Определение aBτ дает возможность найти угловое ускорение звена 2:

εBO2=aBτ/BО2=119,48/15=7,96 с-2.

Звено 2 вращается ускоренно (направления ωBO2 и εBO2 совпадают).

Полное ускорение точки B

Вектор aB составляет угол γ с звеном 2:

tg γ=aBτ/aBn=119,48/26,53=4,5,
γ=arctg 4,50≈77o30'.

Ускорение точки K находится из формулы:

в которой все слагаемые определяются: aAn и aAτ уже найдены:

aKAцAB2∙AK=0,872∙25=18,92 см/с2;
aKAврAB∙AK=0,80∙25=20,0 см/с2.
Рисунок 2.30

Спроецировав формулу (***) на оси системы xKy, получим:

aKx= aAncos30o+aAτcos60o+aKAцcos0o+aKAвpcos90o=
=80∙√3/2+40/2+18,92+20,0∙0=107,72 см/с2;
aKy=aAncos120o+aAτcos30o+aBAцcos90o+aBAвpcos0o=
=80(-1/2)+40∙0,86+18,92∙0+20∙1=14,4 см/с2

Полное ускорение точки K:

Определение угловой скорости и вращательного ускорения штока AB позволяют найти его мгновенный центр ускорений. Для этого определим угол β:

мгновенный центр ускорений штока
Рисунок 2.31
tg β=εAB2=0,80/0,872=1,06,
β=arctg 1,06≈46o40'.

Отложив от известных ускорений точек A, и B угол β («в сторону ε»), получим точку пересечения этих лучей Q (рисунок 2.31), которая и является мгновенным центром ускорений штока AB.

Ускорения точек должны соответствовать соотношениям:

Другие примеры решения задач >>