Расчет скорости и ускорения точки в сложном движении

Расчет скорости и ускорения точки в заданный момент времени в определенном положении

Задача

Платформа движется по горизонтальным направляющим по закону s=2t2 м. На платформе установлен диск радиуса R=0,75 м, вращающийся вокруг оси перпендикулярной плоскости чертежа с угловой скоростью ω=4t2 рад/с.

определить скорость и ускорение точки
Рисунок 3.8

В момент времени t=2 с определить скорость и ускорение точки M, находящейся в положении, показанном на рисунке 4.8, φ=30о.

Решение

В данном примере можно ввести неподвижную систему отсчета x1O1y1 и подвижную xOy, скрепленную с платформой.

Подвижная система отсчета движется поступательно вместе с платформой. По отношению к подвижной системе отсчета движется диск (вращается вместе с точкой M вокруг оси, проходящей через точку O).

Движение точки подвижной системы отсчета, с которой в данный момент совпадает точка M, является переносным движением, вращение точки M вокруг точки O - относительное движение.

Скорость точки M определится по формулам:

V = Ve+ Vr,
Ve=ds/dt=4t=4∙2=8 м/с;
Vr=ωR=4t2∙R=4∙22∙0,75=12 м/с.

Спроецировав векторное равенство на оси неподвижной системы отсчета можно определить проекции абсолютной скорости на оси, величину скорости, направляющие косинусы.

Vx1=Vecos0o+Vrcos120o=8∙1-12∙0,5=2 м/с;
Vy1=Vrcos30o+Vecos90o=8∙0+12∙0,87=10,44 м/с;

переносная, относительная, абсолютная скорости точки
Рисунок 3.9

На рисунке 3.9 показаны переносная, относительная, абсолютная скорости точки M и углы, которые составляет вектор скорости с осями координат.

Ускорение точки определяется по формулам:

В данном примере при переносном поступательном движении (ωe=0) кориолисово ускорение равно нулю.

ae=d2s/dt2=4 м/с2,
arn2R=(4t2)2∙R=(4∙22)2∙0,75=192 м/с2;
aτ=εR=dω∙R/dt=8t∙0,75=8∙2∙0,75=12 м/с2.
составляющие полного ускорения точки
Рисунок 3.10

Проекции вектора абсолютного ускорения на оси:

Проекции вектора абсолютного ускорения на оси

Направление вектора ускорения:

Направление вектора ускорения

где α1 и β1 - углы, которые вектор ускорения составляет с осями координат.

На рисунке 3.10 показаны составляющие полного ускорения точки M.

Другие примеры решения задач >>