Определение вида и радиуса кривизны траектории в момент времени t

Задача
Даны уравнения движения точки M :
  x=(3cos2πt/3)+3   см;
y=(2sin2πt/3)-2    см.
     Определить вид траектории и в момент времени t=1 c  найти скорость точки, полное, касательное, нормальное ускорения и радиус кривизны траектории в данной точке.

Решение
     Координатный способ задания движения – это траектория движения точки в параметрической форме.
Исключим параметр t :
    cos2πt/3=(x-3)/3, sin2πt/3=(y+2)/2,
(cos2πt/3)2+(sin2πt/3)2=1=((x-3)2/32)+((y+2)2/22), ((x-3)2/32)+((y+2)2/22)=1
   
получили эллипс с полуосями 3  см  и 2  см  (рисунок 1.7). 
     В момент времени  t=1 c координаты точки:
x=(3cos2π1/3)+3=3cos120o+3=3(-1/2)+3=1,5 см;
y=(2sin2π1/3)-2=2sin120o-2=2(31/2/2)-2=-0,27 см.
 
Определить вид траектории и найти скорость
Рисунок 1.7

     Движение начинается из точки A :
   xt=0=(3cos2π0/3)+3=3+3=6 см;
   yt=0=(2sin2π0/3)-2=0-2=-2 см.
     Учитывая графики изменения функций синуса и косинуса, можно утверждать, что точка M  движется по эллипсу из точки A  против хода часовой стрелки.
     Скорость точки:
Vx=dx/dt=d((3cos2πt/3)+3)/dt=3(-sin2πt/3)2π/3+0=-2πsin2πt/3 см/с;
Vy=dy/dt=d((2sin2πt/3)-2)/dt=2(cos2πt/3)2π/3-0=(4/3)πcos2πt/3 см/с.

     В момент времени t=1:

     Направление вектора скорости определяется направляющими косинусами:
Направление вектора скорости
     Таким образом, вектор скорости определен и по величине и по направлению (рисунок 1.8).
Ускорение точки:
 
Ускорение точки

    Для t=1 c:     

    Полное ускорение:  
Полное ускорение

Результаты расчетов
Рисунок 1.8

     Направление вектора ускорения:
Направление вектора ускорения

    Результаты расчетов показаны на рисунке 1.8.
    Касательное ускорение определяется по формуле (1.11):

Касательное ускорение

    Нормальное ускорение можно определить либо из формулы (1.5), либо из формулы (1.12). По формуле (1.12) получим:

Нормальное ускорение

    Результат может быть проверен (см. выше расчет  ):


Радиус кривизны траектории в точке M :  ρ=V2/an=5,832/9,44=3,60 см.