Расчет скорости, ускорений и траектории точки в заданный момент времени

Расчет скорости, ускорений и траектории точки

Задача

Даны уравнения движения точки M:

x=(3cos2πt/3)+3 см;
y=(2sin2πt/3)-2 см.

Определить вид траектории и в момент времени t=1 c найти скорость точки, полное, касательное, нормальное ускорения и радиус кривизны траектории в данной точке.

Решение

Координатный способ задания движения – это траектория движения точки в параметрической форме.

Исключим параметр t:

cos2πt/3=(x-3)/3,
sin2πt/3=(y+2)/2,
(cos2πt/3)2+(sin2πt/3)2=1=((x-3)2/32)+((y+2)2/22),
((x-3)2/32)+((y+2)2/22)=1

получили эллипс с полуосями 3 см и 2 см (рисунок 1.7).

В момент времени t=1 c координаты точки:

x=(3cos2π∙1/3)+3=3cos120o+3=3∙(-1/2)+3=1,5 см;
y=(2sin2π∙1/3)-2=2sin120o-2=2∙(31/2/2)-2=-0,27 см.

Определить вид траектории и найти скорость
Рисунок 1.7

Движение начинается из точки A:

xt=0=(3cos2π∙0/3)+3=3+3=6 см;
yt=0=(2sin2π∙0/3)-2=0-2=-2 см.

Учитывая графики изменения функций синуса и косинуса, можно утверждать, что точка M движется по эллипсу из точки A против хода часовой стрелки.

Скорость точки:

Vx=dx/dt=d((3cos2πt/3)+3)/dt=
=3∙(-sin2πt/3)∙2π/3+0=-2πsin2πt/3 см/с;
Vy=dy/dt=d((2sin2πt/3)-2)/dt=
=2∙(cos2πt/3)∙2π/3-0=(4/3)πcos2πt/3 см/с.

В момент времени t=1:

Направление вектора скорости определяется направляющими косинусами:

Направление вектора скорости

Таким образом, вектор скорости определен и по величине и по направлению (рисунок 1.8).

Ускорение точки:

Ускорение точки

Для t=1 c:

Полное ускорение:

Полное ускорение Результаты расчетов
Рисунок 1.8

Направление вектора ускорения:

Направление вектора ускорения

Результаты расчетов показаны на рисунке 1.8.

Касательное ускорение определяется по формуле (1.11):

Касательное ускорение

Нормальное ускорение можно определить либо из формулы (1.5), либо из формулы (1.12). По формуле (1.12) получим:

Нормальное ускорение

Результат может быть проверен (см. выше расчет):

Радиус кривизны траектории в точке M:

ρ=V2/an=5,832/9,44=3,60 см.

Другие примеры решения задач >>