Расчет реакций в шарнирах

Пример расчета реакций в шарнирах

Задача

На рис. 2 показана схема копра, состоящего из двух одинаковых ферм, соединенных между собой шарниром B. Веса этих ферм Q1 и Q2 равны и приложены в точках D и E.

На левую ферму действует горизонтальная сила P давления ветра. Определить реакции в шарнирах A, B и C при указанных на рисунке размерах.

Пример решения

Направления реакций в шарнирах A, B и C неизвестны, а потому разложим каждую из них на горизонтальную и вертикальную составляющие, направив их, как указано на рисунке.

Пусть xByBреакции левой фермы, приложенные к ферме C в точке B, а xB'yB' − реакции правой фермы, приложенные в той же точке к ферме AB, причем xB'= -xB, yB'= -yB.

Так как в данном примере нужно найти шесть неизвестных реакций (xA, yA, xC, yC, xB, yB), то нужно составить шесть уравнений равновесия. Для этого сначала составим три уравнения равновесия для всей системы в целом (уравнения равновесия внешних сил xA, yA, xC, yC, P, Q1, Q2).

Схема копра, состоящего из двух одинаковых ферм, соединенных между собой шарниром
Рис. 2

Приравнивая нулю сумму моментов сил относительно каждой из точек A и C и сумму проекций этих сил на ось x, получим:

1. xA+ xC+ P =0
2. yC∙l - Q2∙(l - a) - Q1∙a - P∙h =0
3. Q1∙(l - a) + Q2∙a - P∙h - yA∙l =0

Правила знаков для сил и моментов.

Далее составим три уравнения равновесия для фермы BC (уравнения равновесия внешних сил xC, yC, xB, yB, Q2, приложенных к этой ферме). Приравнивая нулю сумму моментов этих сил относительно точки C и сумму их проекций на оси x и y, получим:

4. xB + xC =0
5. yC + yB - Q2=0
6. Q2∙a - xB∙H - yB∙l/2 =0

Решим полученную систему шести уравнений.

Из второго и третьего уравнений находим:

yA= (Q1∙l - Q1∙a + Q2∙a - P∙h)/ l =
=(Q1∙l - P∙h)/ l = Q1 - P∙h/ l
yC = (Q2∙l  -Q2∙a + Q1∙a + P∙h)/ l =
=(Q2∙l + P∙h) / l = Q2 + P∙h/ l

Из пятого уравнения находим:

yB = Q2 - yC = Q2 - Q2 - P∙h/ l = -P∙h/ l

Из шестого уравнения имеем:

H∙xB= Q2∙a + P∙h/2
и xB= (2a∙Q2 +P∙h) / (2H)

Далее из четвертого и первого уравнений получаем:

xC= -xB= -(2aQ2+P∙h) / (2H),
xA= -P -xC=(2a∙Q2+P∙h)/ (2H)- P =
=(2aQ2+h∙P - 2H∙P) / (2H)
или
xA=(2aQ2+P(h - 2H)) / (2H)

Другие примеры решения задач >>