Пример решения задачи на расчет угловой скорости и углового ускорения конуса, который катится по неподвижной горизонтальной плоскости без скольжения, а также, скорости и ускорения нижней и верхней точек его основания.

Задача

Конус с углом при вершине 2α = 60° и радиусом основания r =20 см катится по неподвижной горизонтальной плоскости без скольжения (Рис. 3.5). Скорость центра основания постоянна, ν_с= 60 см/сек.

Требуется определить:

1. угловую скорость конуса ω;
2. угловое ускорение конуса ε;
3. скорости нижней и наивысшей точек основания ν_A и ν_B;
4. ускорения этих же точек a_A и a_B (рисунок 3.6).

Другие примеры решений >
Помощь с решением задач >

Решение

Угловая скорость конуса

Рассматриваемое движение конуса является сферическим, так как его вершина остается неподвижной. Так как конус катится по неподвижной плоскости, то образующая OA, которой он соприкасается с плоскостью, является мгновенной осью (все точки этой образующей имеют нулевую скорость).

Зная скорость точки C, можно сразу определить угловую скорость конуса. Найдем расстояние от C до мгновенной оси (рисунок 3.7):

Определяем угловую скорость:

Учитывая направление вектора ν_с, откладываем вектор ω от точки O вдоль мгновенной оси так, чтобы смотря ему навстречу, видеть вращение конуса происходящим против движения часовой стрелки;

Угловое ускорение конуса

Для определения углового ускорения ε необходимо построить годограф угловой скорости ω. При качении конуса по горизонтальной плоскости вектор ω перемещается в этой плоскости, поворачиваясь вокруг вертикальной оси z. Так как модуль его не изменяется, то конец вектора ω описывает окружность в горизонтальной плоскости.

Вектор ε геометрически равен скорости u конца вектора ω. В данном случае скорость u является вращательной вокруг оси z. Угловая скорость этого вращения ω₁ определяется как угловая скорость вращения оси конуса OC вокруг оси z. Чтобы определить ее модуль, находим расстояние от точки C до оси z:

Определяем ω₁:

Скорость u находим как вращательную скорость точки – конца вектора угловой скорости ω при вращении вокруг оси z:

Вектор ε отложен от неподвижной точки в направлении скорости u, т.е. лежит в горизонтальной плоскости и перпендикулярен ω;

Скорости точек основания A и B

Определим скорости точек A и B. Точка A лежит на мгновенной оси вращения, ее скорость равна нулю ν_A=0.

Скорость точки B (рисунок 3.7):

Вектор скорости ν_B направлен перпендикулярно плоскости ΩOz;

Ускорения точек A и B

Точка B имеет ускорение a_B, равное сумме осестремительного ускорения a_ΩB^oc и вращательного ускорения a_EB^вр:

По формулам (3.9) находим:

Для определения модуля a_EB^вр опустим из B перпендикуляр на ось углового ускорения E. Этот перпендикуляр совпадает с отрезком BO (рисунок 3.6).

Направляем a_EB^вр перпендикулярно BO в плоскости, перпендикулярной ε так, чтобы, смотря навстречу ε, видеть a_EB^вр, направленным против часовой стрелки.

Определяем модуль a_B как длину диагонали параллелограмма:

В точке A, лежащей на мгновенной оси вращения, осестремительное ускорение равно нулю: a_ΩA^oc=0. Определяем модуль вращательного ускорения точки A (рисунок 3.7):

Вектор a_EA^вр направлен перпендикулярно AO в плоскости ΩOz.

Другие примеры решения задач >