Определение угловой скорости и углового ускорения конуса

Задача
Конус с углом при вершине 2α = 60°  и радиусом основания r = 20 см катится по неподвижной горизонтальной плоскости без скольжения. Скорость центра основания постоянна, νс= 60 см/сек.
Определить:
1) угловую скорость конуса ω;
2) угловое ускорение конуса ε;
3) скорости нижней и наивысшей точек основания νA и νB;
4) ускорения этих же точек αA и αB (рисунок 3.6).
Решение
1) рассматриваемое движение конуса является сферическим, так как его вершина остается неподвижной. Так как конус катится по неподвижной плоскости, то образующая OA, которой он соприкасается с плоскостью, является мгновенной осью (все точки этой образующей имеют нулевую скорость).
сферическое движение конуса
Рис. 3.6

Зная скорость точки C, можно сразу определить угловую скорость конуса. Найдем расстояние от C до мгновенной оси (рисунок 3.7):
CK = CA cos30° = r cos30°= 20 √3 / 2 = 17,32см.

Определяем угловую скорость:
ω = νс / CK = 3,46 с-1.
 
Учитывая направление вектора νс, откладываем вектор ω от точки O вдоль мгновенной оси так, чтобы смотря ему навстречу, видеть вращение конуса происходящим против движения часовой стрелки;
определить угловую скорость конуса

Рис. 3.7

2) для определения углового ускорения ε необходимо построить годограф угловой скорости ω. При качении конуса по горизонтальной плоскости вектор ω перемещается в этой плоскости, поворачиваясь вокруг вертикальной оси z. Так как модуль его не изменяется, то конец вектора ω описывает окружность в горизонтальной плоскости.
Вектор ε геометрически равен скорости u конца вектора ω. В данном случае скорость u   является вращательной вокруг оси z. Угловая скорость этого вращения ω1 определяется как угловая скорость вращения оси конуса OC вокруг оси z. Чтобы определить ее модуль, находим расстояние от точки C до оси z:
 CL = OC cos30° = OA cos30° cos30°= 2r  cos230°= 40 3/4 = 30 см.
Определяем ω1:
ω1= νс / CL = 60 / 30 = 2 с-1.

Скорость u находим как вращательную скорость точки – конца вектора угловой скорости ω при вращении вокруг оси z:
 ε = u 1ω = 2⋅ 2√3 = 6,93 с-2.

Вектор ε отложен от неподвижной точки в направлении скорости u, т.е. лежит в горизонтальной плоскости и перпендикулярен ω;

3) определим скорости точек A и B. Точка A лежит на мгновенной оси вращения, ее скорость равна нулю νA = 0.
Скорость точки B (рисунок 3.7):
νB = ω⋅ BK1 = ω⋅ 2CK = 23⋅ 203 = 120 см/с.

Вектор скорости νB направлен перпендикулярно плоскости ΩOz ;

4) точка B имеет ускорение aB, равное сумме осестремительного ускорения aΩBoc  и вращательного ускорения aEBвр:
 aB = aΩBoc + aEBвр

По формулам (3.9) находим: aΩBoc  = ω2 BK1 = 415,7 см/с.
Для определения модуля aEBвр опустим из B перпендикуляр на ось углового ускорения E. Этот перпендикуляр совпадает с отрезком BO (рисунок 3.6).
aEBвр = ε BO = 43 40 = 277,1 см/с2.

Направляем aEBвр перпендикулярно BO в плоскости, перпендикулярной ε так, чтобы, смотря навстречу ε, видеть aEBвр,  направленным против часовой стрелки.
Определяем модуль aB как длину диагонали параллелограмма:

В точке A, лежащей на мгновенной оси вращения, осестремительное ускорение равно нулю: aΩAoc = 0 Определяем модуль вращательного ускорения точки A (рисунок 3.7):
aEBвр = ε AO = 43⋅40 = 277,1  см/с2.

Вектор aEAвр направлен перпендикулярно AO в плоскости ΩOz.

aA = aEAвр  = 277,1 см/с2.