Определение угловой скорости и углового ускорения

Расчет угловой скорости и углового ускорения

Задача

Конус с углом при вершине 2α = 60° и радиусом основания r =20 см катится по неподвижной горизонтальной плоскости без скольжения. Скорость центра основания постоянна, νс= 60 см/сек.

Определить:

  1. угловую скорость конуса ω;
  2. угловое ускорение конуса ε;
  3. скорости нижней и наивысшей точек основания νA и νB;
  4. ускорения этих же точек aA и aB (рисунок 3.6).

Решение

1) рассматриваемое движение конуса является сферическим, так как его вершина остается неподвижной. Так как конус катится по неподвижной плоскости, то образующая OA, которой он соприкасается с плоскостью, является мгновенной осью (все точки этой образующей имеют нулевую скорость).

сферическое движение конуса
Рис. 3.6

Зная скорость точки C, можно сразу определить угловую скорость конуса. Найдем расстояние от C до мгновенной оси (рисунок 3.7):

CK = CA cos30° = r cos30°=
= 20 √3 / 2 = 17,32 см.

Определяем угловую скорость:

ω = νс / CK = 3,46 с-1.

Учитывая направление вектора νс, откладываем вектор ω от точки O вдоль мгновенной оси так, чтобы смотря ему навстречу, видеть вращение конуса происходящим против движения часовой стрелки;

определить угловую скорость конуса
Рис. 3.7

2) для определения углового ускорения ε необходимо построить годограф угловой скорости ω. При качении конуса по горизонтальной плоскости вектор ω перемещается в этой плоскости, поворачиваясь вокруг вертикальной оси z. Так как модуль его не изменяется, то конец вектора ω описывает окружность в горизонтальной плоскости.

Вектор ε геометрически равен скорости u конца вектора ω. В данном случае скорость u является вращательной вокруг оси z. Угловая скорость этого вращения ω1 определяется как угловая скорость вращения оси конуса OC вокруг оси z. Чтобы определить ее модуль, находим расстояние от точки C до оси z:

CL = OC cos30° = OA cos30° cos30°=
= 2r cos230°= 40 ∙ 3/4 = 30 см
.

Определяем ω1:

ω1= νс / CL = 60 / 30 = 2 с-1.

Скорость u находим как вращательную скорость точки – конца вектора угловой скорости ω при вращении вокруг оси z:

ε = u = ω1∙ω = 2∙2√3 = 6,93 с-2.

Вектор ε отложен от неподвижной точки в направлении скорости u, т.е. лежит в горизонтальной плоскости и перпендикулярен ω;

3) определим скорости точек A и B. Точка A лежит на мгновенной оси вращения, ее скорость равна нулю νA=0.

Скорость точки B (рисунок 3.7):

νB = ω∙BK1 = ω∙2CK = 2√3∙20√3 = 120 см/с.

Вектор скорости νB направлен перпендикулярно плоскости ΩOz;

4) точка B имеет ускорение aB, равное сумме осестремительного ускорения aΩBoc и вращательного ускорения aEBвр:

aB = aΩBoc + aEBвр

По формулам (3.9) находим:

aΩBoc = ω2 ∙ BK1 = 415,7 см/с.

Для определения модуля aEBвр опустим из B перпендикуляр на ось углового ускорения E. Этот перпендикуляр совпадает с отрезком BO (рисунок 3.6).

aEBвр = ε ∙ BO = 4√3 ∙ 40 = 277,1 см/с2.

Направляем aEBвр перпендикулярно BO в плоскости, перпендикулярной ε так, чтобы, смотря навстречу ε, видеть aEBвр, направленным против часовой стрелки.

Определяем модуль aB как длину диагонали параллелограмма:

В точке A, лежащей на мгновенной оси вращения, осестремительное ускорение равно нулю: aΩAoc=0. Определяем модуль вращательного ускорения точки A (рисунок 3.7):

aEBвр = ε ∙ AO = 4√3∙40 = 277,1 см/с2.

Вектор aEAвр направлен перпендикулярно AO в плоскости ΩOz.

aA = aEAвр = 277,1 см/с2.

Другие примеры решения задач >>