Определение закона движения точки

Пример определения закона движения точки

Задача

По наклонной плоскости из состояния покоя начинает скользить тело массой m = 1 кг (рисунок 5.1). Коэффициент трения скольжения f = 0,1. Определить закон движения точки, если угол α = 30°.

Определить закон движения точки, если задан угол
Рисунок 5.1

Решение

В данном случае тело движется поступательно, следовательно, его можно рассматривать как материальную точку. Направим ось x вдоль движения. Начало оси возьмем в начальном положении точки. Тогда x0= 0.

Поскольку движение начинается из состояния покоя, начальная скорость V0 тоже равна нулю.

Расположим тело в произвольный момент времени и покажем все силы, действующие на него, включая реакции связей. На тело действуют сила тяжести G, сила трения Fтр и нормальная реакция наклонной плоскости N (рисунок 5.2).

Запишем уравнение второго закона динамики в векторном виде

и в проекциях на оси координат

m∙a = dV/dt = G∙sin(α) - Fтр,
0 = - G∙cos(α) + N
    (5.1)
Действие на тело силы тяжести, силы трения и нормальной реакции наклонной плоскости
Рисунок 5.2

Из второго уравнения системы (5.1) можно определить величину нормальной реакции поверхности:

N = Gcos(α).

Первое уравнение системы (5.1) разделим слева и справа на m:

dV/dt = (Gsin(α) - Fтр) / m   (5.2)

С точки зрения математики полученное уравнение является простейшим дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Уравнение связывает две переменные величины – скорость точки и время.

Смысл разделения переменных заключается в том, чтобы все слагаемые уравнения, куда входит скорость, были с одной стороны от знака равенства, а слагаемые, куда входит время – с другой стороны знака равенства.

Умножив уравнение (5.2) на dt слева и справа, получим

(dV/dt) ∙ dt = ((Gsin(α) - Fтр) / m) ∙ dt.

Сокращая слева на dt, получим:

dV = ((Gsin(α) - Fтр) / m) ∙ dt     (5.3)

Величина

(Gsin(α) - Fтр) /m

постоянная и ее можно внести под знак дифференциала. Тогда уравнение (5.3) перепишется в виде равенства двух дифференциалов:

Если дифференциалы равны, то интегралы равны с точностью до постоянной величины:

или
V = at + C1     (5.4)

где a = (Gsin(α) - Fтр) / mускорение точки.

Полученный результат дает зависимость проекции скорости на ось x от времени и от постоянной интегрирования C1.

Для определения постоянной C1 воспользуемся начальным значением скорости. Зная значение скорости точки в начальный момент времени V0, и подставляя его в (5.4), получим

V0= a ∙ 0 + C1,

или C1 = V0.

Таким образом, зависимость скорости от времени примет вид

V = at + V0.   (5.5)

Учитывая, что V = dx / dt, снова получим дифференциальное уравнение первого порядка относительно координаты x

dx / dt = at + V0.

Снова разделим переменные

dx = (at + V0) dt,

и после интегрирования получим

x = at2/2 + V0t + C2     (5.6)

где C2 – вторая постоянная интегрирования. Для определения C2 воспользуемся значением координаты x в начальный момент. Получим C2 =  x0.

Тогда (5.6) запишется в виде

x = at2/2 + V0t + x0    (5.7)

Подставляя начальные значения и исходные данные, получим

a = (Gsinα - f ∙Gcosα) / m = g (sin 30° - fcos 30°) =
= 9,8(0,5 - 0,1∙0,86) = 0,414 м/с2,
x = at2/2 + V0t + x0 = 0,207∙t2
.

Таким образом, тело движется вниз по наклонной плоскости по закону

x = 0,207∙t2.

Другие примеры решения задач >>