Расчет угла наклона плоскости для качения без скольжения

Расчет угла наклона плоскости для качения без скольжения

Задача

Определить наименьший угол α наклона плоскости к горизонту, при котором цилиндр радиуса r = 5 см начнет скатываться по плоскости, если коэффициент трения качения δ = 0,05 см.

качение цилиндра без скольжения
Рисунок 2.7

Проверить, возникает ли при этом сила трения скольжения, достаточная для осуществления качения цилиндра без скольжения, если коэффициент трения скольжения f = 0,08 (рисунок 2.7).

Решение

Рассматриваем критический (пусковой) момент равновесия цилиндра, когда момент сопротивления качению принимает максимальное значение: Mcmax=Nδ.

Отбрасывая связь, заменим ее действие на цилиндр силами реакции.

При этом на цилиндр, как на свободное твердое тело, будут действовать вес цилиндра G, нормальная реакция N наклонной плоскости, которая служит связью, сила трения скольжения Fтр, а также момент сопротивления качению Mc. Составим уравнения равновесия произвольной плоской системы сил:

ΣFkx =0,   -Fтр + Gsinα = 0;
ΣFky =0,   N - Gcosα = 0;
ΣMA(Fk) = 0,   -G∙r∙sinα + Mcmax= 0
.

Учитывая, что Mcmax= Nδ, из второго уравнения получим

Mcmax= Nδ = δGcosα.

Тогда третье уравнение примет вид

G∙r∙sinα + δGcosα = 0,
откуда
tgα = δ/r = 0,05/5 = 0,01, =>
α = arctg0,01 = 0°35'
.

Из первого уравнения имеем

Fтр = Gsinα = G∙tgα∙cosα = 0,01Gcosα,

в то время как максимальная сила трения скольжения

Fтрmax= fN = fGcosα = 0,08Gcosα.

Отсюда видно, что условие Fтр ≤ Fтрmax соблюдается, а поэтому цилиндр начнет катиться по наклонной плоскости без скольжения.

Другие примеры решения задач >>