Расчет наименьшего угла наклона плоскости для качения без скольжения

Задача
Определить наименьший угол α наклона плоскости к горизонту, при котором цилиндр радиуса r = 5 см начнет скатываться по плоскости, если коэффициент трения качения δ = 0,05 см.
качение цилиндра без скольжения
Рисунок 2.7
Проверить, возникает ли при этом сила трения скольжения, достаточная для осуществления качения цилиндра без скольжения, если коэффициент трения скольжения f = 0,08  (рисунок 2.7).
Решение
Рассматриваем критический (пусковой) момент равновесия цилиндра, когда момент сопротивления качению принимает максимальное значение:  Mcmax =Nδ.
Отбрасывая связь, заменим ее действие на цилиндр силами реакции.
При этом на цилиндр, как на свободное твердое тело, будут действовать вес цилиндра G, нормальная реакция N наклонной плоскости, которая служит связью, сила трения скольжения  Fтр, а также момент сопротивления качению  Mc. Составим уравнения равновесия произвольной плоской системы сил:
 ΣFkx = 0,  - Fтр + Gsinα = 0;
 ΣFky = 0,   N - Gcosα = 0;
 ΣMA(Fk) = 0,  Grsinα + Mc max = 0.
Учитывая, что Mcmax = Nδ, из второго уравнения получим

 Mcmax = Nδ = δGcosα.

Тогда третье уравнение примет вид

 G⋅rsinα +δGcosα = 0,
откуда
 tgα = δ/r = 0,05/5 = 0,01, =>  α = arctg0,01 = 0o35'.

Из первого уравнения имеем

 Fтр = Gsinα = Gtgαcosα = 0,01Gcosα,

в то время как максимальная сила трения скольжения

 Fтрmax = fN = fGcosα = 0,08Gcosα.

Отсюда видно, что условие Fтр  Fтрmaxсоблюдается, а поэтому цилиндр начнет катиться по наклонной плоскости без скольжения.