Расчет траектории, скорости и пройденного пути в заданные моменты времени

Кинематика точки
Пример решения задачи

Задача
Движение точки A задано уравнениями: 
уравнения движения точки
где  x и  y – в см, а t  – в с. Определить траекторию движения точки, скорость и ускорение в моменты времени t0=0 с, t1=1 с и t2=5 с, а также путь, пройденный точкой за 5 с.
Решение 
1 Определяем траекторию точки. Умножаем первое заданное уравнение на 3, второе – на (-4), а затем складываем их левые и правые части:

3x=6t2+6
-4y=-6t2-4
-----------
3x-4y=2 
 
Получилось уравнение первой степени – уравнение прямой линии, значит движение точки – прямолинейное (рисунок 1.5).
Для того, чтобы определить координаты начального положения точки A0 , подставим в заданные уравнения значения t0=0; из первого уравнения получим x0=2 см, из второго y0=1 см. При любом другом значении t  координаты x  и  y движущейся точки только возрастают, поэтому траекторией точки служит полупрямая 3x-4y=2  с началом в точке A0(2; 1).

движение точки – прямолинейное

Рисунок 1.5

2 Определяем скорость движения точки, найдя сначала ее проекции на оси координат:
скорость движения точки

Тогда

При  t0=0 с скорость точки v0=0 , при  t1=1 с – v1=5 см/с, при  t2=5 с – v2=25 см/с.

3 Определяем ускорение точки. Его проекции на оси координат:
Проекции ускорения не зависят от времени движения,

т.е. движение точки равноускоренное, векторы скорости и ускорения совпадают с траекторией точки и направлены вдоль нее.

С другой стороны, поскольку движение точки прямолинейное, то модуль ускорения можно определить путем непосредственного дифференцирования уравнения скорости:

4 Определяем путь, пройденный точкой за первые 5 с движения. Выразим путь как функцию времени:

Проинтегрируем последнее выражение:

Если t=t0=0, то  C=s0; в данном случае s0=0, поэтому  s=2,5t2. Находим, что за 5 с точка проходит расстояние  s|t=5=2,552=62,5 см.