Определение уравнения движения точки в координатной форме

Рассмотрен следующий случай выражения силы, действующей на точку:
1) сила зависит от времени;
2) сила зависит от положения точки в пространстве;
3) сила зависит от скорости  точки.

Пусть свободная материальная точка массой m движется под действием силы 
F = ib1cosωt + jb2vy + kb3z ,
где b1b2b3- некоторые постоянные коэффициенты при начальных условиях
x0 = 0, y0 = 0, z0  0, vx0 = 0, vy0  0, vz0 = 0.

Необходимо определить уравнения движения точки в координатной форме.
Запишем для этой точки дифференциальные уравнение в проекциях на декартовы оси координат
                                                      m⋅ d2x/dt2 = b1cosωt 
                                              m⋅ d2y/dt2 = b2vy                                     (7)                         
                                            m⋅ d2y/dt2 = b2vy .

Первое уравнение системы (7) можно представить в виде двух уравнений первого порядка
                                                        m⋅ dvx/dt =  b1cosωt                           (8)
dx/dt = vx
В первом уравнении связаны две переменные величины: проекция скорости на ось x и время. Разделяя переменные, получим 
m⋅ dvx =  b1cosωtdt
Слева и справа от знака равенства стоят дифференциалы некоторых функций. Если дифференциалы равны, то и интегралы равны с точностью до постоянной интегрирования
m⋅ dvx = b1cosωtdt + C1

После интегрирования получим
vx = (b1/mω)sinωt + C1  (9)
т.е. зависимость проекции скорости точки на ось   от времени. Из второго уравнения системы (8) получим
dx/dt = (b1/mω)sinωt + C1
 
Снова, разделяя переменные, получим
dx = ((b1/mω)sinωt + C1)dt
 
После интегрирования получим
x = -(b1/mω2)cosωt + C1t + C2     (10)

Постоянные Cи Cопределим по начальным условиям. Подставляя в выражение (10) значение координаты x при t=0, получаем
 0 = -(b1/mω2)cosω0 + C10 + C2
 
отсюда 
 C2=b1/mω2

Постоянную C1 определим, подставляя в (9) значение vпри t=0 :
0 = (b1/mω)sinω0 + C1

отсюда C1= 0.
Таким образом, решение первого уравнения системы (7) имеет вид
x = -(b1/mω2)cosωt b1/mω2 (11)

Второе уравнение системы (7) также представляем в виде двух уравнений

mdvy/dt = b2vy
       dy/dt = vy  (12)

Разделяя переменные в первом уравнении, получим
mdvy/vy = b2dt или lnvy = (b2/m)t + lnC3.
Решая относительно vy, получим 

Учитывая второе уравнение системы (12) снова получаем 

Разделяя переменные и интегрируя, получим  

Постоянные C3 и C4 определяем по начальным условиям. 

Таким образом, решение второго уравнения системы (7) имеет вид

Третье уравнение системы (7) также представляем в виде двух уравнений
mdvz/dt = b3z
dz/dt = vz(16)

В первом уравнении системы (16), связаны три переменных величины: скорость, время и координата точки. Чтобы разделить переменные необходимо исключить одну из них. Произведем замену
dvz/dt = (dvz/dz)(dz/dt)=vzdvz/dz

Тогда первое уравнение  (16) примет вид
mvzdvz/dz = b3z
                                                           
Теперь можно разделить переменные
mvzdvz = b3zdz

Интегрируя, получим  mvz2/2 = 4z2/2 + C5

Решая относительно vz, получим

По начальным условиям найдем постоянную C5.

Подставляя в (17) vz0 = 0 и z0, получим

Учитывая, что v= dz/dt выражение (17) запишется в виде

Разделив переменные, приведем его к виду
Вынося из под знака корня в знаменателе b3/m, получим
Интегрируя, получим
Решая относительно z, получим

Постоянную C6 найдем по начальным условиям. При  . 

Решая относительно C6, получим eC6=1 или C6=0.
                           
Таким образом, решение третьего уравнения системы (7) будет иметь вид

Окончательно уравнения движения точки в координатной форме имеют вид: