Определение закона относительного движения в момент времени

Задача
 Тело D вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ω . По цилиндрическому каналу движется шарик M (рисунок 8.1). Определить закон относительного движения шарика x = x(t) . Найти также координату x и давление шарика на стенку канала в момент времени t = τ  , если α = 45° .
 ω = 10 с-1; m = 0,01 кг; τ = 0,2 c; x0 = 0  ; V0 отн= 0 ; r = 0,2 м.

Определить закон относительного движения шарика
Рисунок 8.1
Решение
Свяжем подвижную систему отсчета Oxyz  с вращающимся каналом, совместив ось x с траекторией относительного движения шарика M.

    Вращение этой системы относительно оси АВ является переносным движением для шарика M . Движение шарика вдоль канала будет относительным.
    К шарику приложены: вес G и нормальная реакция стенки канала, которую разложим на две составляющие N1 и N2 . Присоединим к силам, действующим на шарик, кориолисову силу инерции Фкор  и переносную силу инерции Фnпер . Поскольку вращение происходит с постоянной угловой скоростью, переносное ускорение точки M имеет только нормальную составляющую. Соответственно переносная сила инерции будет иметь одну составляющую, направленную от оси AB .

 В литературе ее называют центробежной силой инерции. Направление ускорения Кориолиса найдем по правилу Жуковского (рисунок 8.1), полагая, что шарик движется от точки O.

    Модули сил инерции определяются по формулам

 Фnпер =  m⋅ anпер m⋅ ω2(r + x⋅ sinα),
Фкор =  m⋅ aкор = 2m⋅ ω⋅ Vотн⋅ sinα) ,
где Vотн = dx/ dt .
    Основное уравнение относительного движения, в данном случае,  имеет вид
вид основного уравнения относительного движения

    Проецируя это уравнение на подвижные оси координат, получим
         md2x/ dt2 - Gcosα + Фnперsinα ,
                               0 = N2  - Фкор                             , (8.1)
0 = N1 - Gsinα  - Фnперcosα .

    Подставляя значение  Фnпер  в первое уравнение системы (8.1), получим

 md2x/ dt2- Gcosα + mω2(r + xsinα)sinα .

    Последнее уравнение представим в виде
                        d2x/ dt2- xω2sin2α = ω2rsinα - gcosα  . (8.2)

    Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Общее решение полученного уравнения имеет вид
x = x* + x**                 ,
где  x* – общее решение однородного уравнения d2x/ dt2- xω2sin2α = 0 ;                            
      x**  – частное решение уравнения (8.2).

    Составим характеристическое уравнение и найдем его корни
 u2ω2sin2α = 0,
 u1,2± ωsinα = ± 10⋅0,71± 7,1 .

    Таким образом, общее решение однородного уравнения
 x* = C1e7,1t C2e-7,1t.

    Частное решение уравнения (8.2) находим в виде
 x** = B.

    Подставляя в (8.2), получаем
   x** = B = (g⋅ cosα - ω2r⋅ sinα)/ (ω2⋅ sin2α) = (9,8⋅0,71 - 100⋅0,2⋅0,71)/ (100⋅0,5) = - 0,145 м.

    Общее решение дифференциального уравнения (8.2) получает вид
  x = C1e7,1t C2e-7,1t - 0,145  м.

    Скорость этого движения
 Vотн = 7,1 C1e7,1t  - 7,1 C2⋅ e-7,1t.
    Постоянные C1  и C2  определяем из начальных условий:
при  t = 0
 x= 0    ,           Vотн 0 = 0 .
    Тогда при t = 0 получим
 0 = С+ С- 0,145   ,
 0 = С- С2   ,
отсюда C1  = C= 0,0725 м.

    Уравнение относительного движения принимает вид
 
 x = 0,0725⋅ 7,1t + 0,0725⋅ -7,1t - 0,145. (8.3)

    Скорость относительного движения

   Vотн = 0,51e7,1t - 0,51e-7,1t     м/с.                        (8.4)

    Из второго и третьего уравнений системы (8.1) определим реакцию стенок канала в момент времени  t = 0,2 с 
 N1 = Фnперcosα - Gsinα ,
N2 = Фкор .

    Из этих уравнений найдем
  N=  mω2(r + x⋅ sinα)⋅ cosα - Gsinα ,
                             N2 2mωVотн⋅ sinα                            .

    Для определения числовых значений реакции необходимо найти значения координаты x и относительной скорости при  t = 0,2 с.

    Подставляя t = 0,2 с в (8.3) и (8.4), получим
   x = 0,0725⋅ 7,1 0,2 0,0725⋅ -7,1 0,2 - 0,145 = 0,172 м,

  Vотн = 0,51⋅ 7,1 0,2  - 0,51⋅ -7,1 0,2 = 0,198 м/с.

    Следовательно, составляющие реакции N1 и N2 будут равны
 N0,01⋅100(0,2+0,172⋅0,71)⋅0,71-0,01⋅9,8⋅0,71= 0,16 Н,

  N= 20,01⋅10⋅0,198⋅0,71= 0,322 Н.

    Реакция стенки канала