Расчет абсолютной скорости и ускорения точки по уравнениям относительного движения

Сложное движение точки

Задача    
Треугольник D вращается вокруг оси O1O2 (рис. 1, а). По стороне треугольника движется точка M. По заданным уравнениям относительного движения точки M и движения треугольника D определить для момента времени t= t1 абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки M . 
 sr O= 16 - 8 cos ( 3 π t), см;      φe = 0,9 t2 - 9t3 , рад;      t1 = 2/9  с.
Решение
Точка  совершает сложное движение. Движется относительно треугольника  D и вместе с треугольником вращается вокруг оси  O1O2 . Тогда движение точки относительно треугольника будет относительным, движение вместе с треугольником – переносным. Будем считать, что в заданный момент времени плоскость чертежа совпадает с плоскостью треугольника .  Положение точки M на треугольнике  D  определяется расстоянием  sr OM .
    При  t = 2/9 с
 sr =  16 - 8 cos (3 π 2/9) = 20,0 см.

    Абсолютную скорость точки М найдем как геометрическую сумму относительной и переносной скоростей:
 v = vr  ⊕  ve .
    Модуль относительной скорости  vr = vr | , где vr dsr/dt = 24 π sin ( 3 π t)  - алгебраическое значение относительной скорости.
    При t = 2/9 с 
 vr = 65,2 см/с;  vr = 65,2 см/с.
    Положительный знак у  vr  показывает, что вектор  v направлен в сторону возрастания  s.
Треугольник   вращается вокруг оси
Рис. 1

    Модуль переносной скорости
 ve = Rωe , (1)
где  R – радиус окружности L, описываемой той точкой тела, с которой в данный момент совпадает точка М ; R =  srsin 30° = 10,0 см; ωe – модуль угловой скорости тела
 ωe ωe | ;  ωe dφe /dt = 1,8 t - 27 t2
    При  t = 2/9 с 
 ωe =  - 0,93 рад/с;   ωe = 0,93 рад/с.

    Отрицательный знак у величины  ω показывает, что вращение треугольника происходит вокруг оси  Oв сторону, обратную направлению отсчета угла φ. Поэтому вектор ωe  направлен по оси Oz вниз (рис. 1, б). 
    Модуль переносной скорости по формуле (1) v= 9,3 см/с.
    Вектор  ve направлен по касательной к окружности  L  в сторону вращения тела. 
    Так как  ve  и  vr  взаимно перпендикулярны, модуль абсолютной скорости точки М
    Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений
aa a    a   a
 или в развернутом виде
 aa arτ  arn  aв  a.

    Модуль относительного касательного ускорения
                                                    arτ arτ |  ,
где
    При  t = 2/9 с
 arτ = - 355 см/с2 ;     arτ = 355  см/с2.

    Отрицательный знак  arτ показывает, что вектор arτ направлен в сторону отрицательных значений sr . Знаки  vr  и arτ  различны, следовательно, относительное движение точки М замедленное.
    Относительное нормальное ускорение
так как траектория относительного движения – прямая (ρ =  ). 

    Модуль переносного вращательного ускорения

aв= Rε , (2)
где  εе εе |  – модуль углового ускорения тела D
 εе =d2φ/dt21,8 - 54 t.
    При t = 2/9 c 
 εе = - 10,2 рад/с2;  εе = 10,2  рад/с2.

    Знаки εе и ωe одинаковы; следовательно, вращение треугольника D ускоренное, направления векторов  εе и ωe  совпадают (рис. 1, б, в).
    Согласно (2) aвe= 102 см/с2. Вектор aвнаправлен в ту же сторону, что и вектор v.
    Модуль переносного центростремительного ускорения
  aцRωe2  или  aцe9 см/с2.

Вектор  aц направлен к центру окружности L . 

    Кориолисово ускорение 
 a= ω⊗ vr .

    Модуль кориолисова ускорения 
                                             aωvr sin (ωe , v) ,
где sin (ωe , v) = sin 150° 0,5
    С учетом найденных выше значений  ωe  и  v получаем
  a= 61 см/с2.

    Вектор  aC направлен, согласно правилу векторного произведения, к нам - перпендикулярно плоскости треугольника D (рис. 1, в).
    Модуль абсолютного ускорения точки  М  находим способом проекций:
    Результаты расчета сведены в таблицу 1. 
Таблица 1