Расчет абсолютной скорости и ускорения по уравнениям относительного движения точки

Расчет абсолютной скорости и ускорения по уравнениям относительного движения точки

Задача

Треугольник D вращается вокруг оси O1O2 (рис. 1, а). По стороне треугольника движется точка M. По заданным уравнениям относительного движения точки M и движения треугольника D определить для момента времени t= t1 абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки M.

sr= OM = 16 - 8 cos (3πt), см;
φe= 0,9 t2- 9 t3, рад;     t1= 2/9 с.

Решение

Точка M совершает сложное движение. Движется относительно треугольника D и вместе с треугольником вращается вокруг оси O1O2. Тогда движение точки относительно треугольника будет относительным, движение вместе с треугольником – переносным.

Будем считать, что в заданный момент времени плоскость чертежа совпадает с плоскостью треугольника D. Положение точки M на треугольнике D определяется расстоянием sr= OM.

При t = 2/9 с

sr= 16 - 8 cos (3π 2/9) = 20,0 см.

Абсолютную скорость точки М найдем как геометрическую сумму относительной и переносной скоростей:

v = vr + ve.

Модуль относительной скорости vr = | vr |, где

vr= dsr/dt = 24π sin(3π t) - алгебраическое значение относительной скорости.

При t = 2/9 с

vr= 65,2 см/с;
vr= 65,2 см/с.

Положительный знак у vr показывает, что вектор vr направлен в сторону возрастания sr.

Треугольник вращается вокруг оси
Рис. 1

Модуль переносной скорости

ve= Rω, (1)

где R – радиус окружности L, описываемой той точкой тела, с которой в данный момент совпадает точка М;
R = srsin 30° = 10,0 см;
ωe – модуль угловой скорости тела

ωe= | ωe |;  ωe= dφe/dt = 1,8t - 27t2

При t = 2/9 с

ωe= -0,93 рад/с;   ωe= 0,93 рад/с.

Отрицательный знак у величины ωe показывает, что вращение треугольника происходит вокруг оси Oz в сторону, обратную направлению отсчета угла φ. Поэтому вектор ωe направлен по оси Oz вниз (рис. 1, б).

Модуль переносной скорости по формуле (1)

ve= 9,3 см/с.

Вектор ve направлен по касательной к окружности L в сторону вращения тела.

Так как ve и vr взаимно перпендикулярны, модуль абсолютной скорости точки М

Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений

aa = ar + ae + aC

или в развернутом виде

aa = a + arn + aeв + aC.

Модуль относительного касательного ускорения

a = | a |,
где

При t = 2/9 с

a= -355 см/с2;     a= 355 см/с2.

Отрицательный знак a показывает, что вектор a направлен в сторону отрицательных значений sr. Знаки vr и a различны, следовательно, относительное движение точки М замедленное.

Относительное нормальное ускорение

так как траектория относительного движения – прямая (ρ = ∞).

Модуль переносного вращательного ускорения

aeв= Rε, (2)

где εе = | εе | – модуль углового ускорения тела D

εе=d2φe/dt2 = 1,8 - 54t.

При t = 2/9 c

εе= -10,2 рад/с2;   εе= 10,2 рад/с2.

Знаки εе и ωe одинаковы; следовательно, вращение треугольника D ускоренное, направления векторов εе и ωe совпадают (рис. 1, б, в).

Согласно (2) aeв= 102 см/с2. Вектор aeв направлен в ту же сторону, что и вектор ve.

Модуль переносного центростремительного ускорения

aцe= Rωe2 или aцe= 9 см/с2.

Вектор aцe направлен к центру окружности L.

Кориолисово ускорение

aC= 2ωe × vr.

Модуль кориолисова ускорения

aC= 2ωe vr sin(ωe, vr),
где
sin(ωe, vr) = sin150°= 0,5

С учетом найденных выше значений ωe и vr получаем

aC= 61 см/с2.

Вектор aC направлен, согласно правилу векторного произведения, к нам - перпендикулярно плоскости треугольника D (рис. 1, в).

Модуль абсолютного ускорения точки М находим способом проекций:

Результаты расчета сведены в таблицу 1.

Таблица 1

Другие примеры решения задач >>