Расчет скорости и ускорения точек в заданном положении

Решение задачи К3 на скорость и ускорение точек в заданном положении

Теория по теме задачи

Задача

Вершины А и В равностороннего треугольника ABD перемещаются соответственно по осям ОХ и OY. Известны АВ=40 см, VA=4√3 м/с, aA=100 м/с2, α =60°.

Вершины А и В равностороннего треугольника ABD перемещаются
Рис. 2.1

Определить скорости и ускорения точек В и D треугольника в заданном положении.

Решение

Определение скоростей точек

а) По теореме о скоростях точек в плоскопараллельном движении:

Направление и величина скорости точки А, VA известны, скорость точки В направлена вдоль оси OY, а скорость VBA перпендикулярна стороне АВ.

Строим равенство (1) (см. рис.2.2). Из точки О1, параллельно оси ОХ, вдоль которой движется точка А, откладываем в масштабе вектор VA. Из конца вектора VA проводим линию MN перпендикулярно стороне треугольника АВ (60º с вертикалью), тогда пересечение линии O1K параллельно оси OY и MN обозначит вектор VB. Полученный треугольник скоростей соответствует формуле (1). Умножив масштаб на длины векторов, получим их величины.

Если рис.2.2 строится без соблюдения масштаба, то определение величин скоростей производится с помощью теоремы синусов:

Рис. 2.2

Поскольку VBAAB x AB, то может быть определена угловая скорость вращения точки В вокруг А (или, что то же самое, угловая скорость вращения треугольника ABD).

В данном примере не известно направление скорости точки D. Поэтому для определения скорости точки D пишем:

Аналогично (рис.2.2) делаем построение для определения скорости точки D (рис.2.3).

Линия ad перпендикулярна стороне треугольника AD, bd перпендикулярна BD. Точка D – точка пересечения линии ad и bd определяет конец вектора, проведенного из точки О1; отрезок ad соответствует вектору VDA, bd – вектору VDB. При известных углах можно определить величину скорости точки D - VD.

Рис. 2.3

b) Определение скоростей точек с помощью мгновенного центра скоростей.

Мгновенный центр скоростей (МЦС) звена АВ - PV находится в точке пересечения перпендикуляров к скоростям точек (см. рис. 2.4) – (АPV ⊥ VA, BPV ⊥ оси OY, вдоль которой направлена скорость точки В), после нахождения МЦС - можно написать соотношение

Направление вращения треугольника определяем по вращению точки А вокруг точки PV (в данном случае против хода часовой стрелки).

Величина угловой скорости треугольника

Теперь определяем величины скоростей других точек:

Векторы скоростей перпендикулярны соответствующим отрезкам BPV и DPV, и направлены в сторону вращения.

Рис. 2.4

Определение ускорений точек

а) Ускорение точки В определяется по формуле

Ускорение точки А задано, т.е. известно по величине и направлению; ускорение aцAB направлено от точки В к точке А и вычисляется по формуле

Известно также, что вектор aB направлен вдоль оси OY, т.к. точка В движется вдоль этой оси, а вектор a-врAB направлен перпендикулярно линии АВ. С учетом сказанного можно построить эти векторы (рис. 2.5а) или построить равенство (4) (рис. 2.5б) и спроецировать его на выбранные оси координат BX1 и BY1:

Рис. 2.5а
Рис. 2.5б

на ось BX1

на ось BY1

или

Оба ускорения aB и aврBA оказались положительными. Это значит, что предварительный выбор направления (рис. 2.5а) оказался верным.

Из формулы
aврBA= ε x AB можно определить угловое ускорение треугольника (или точки В при вращении вокруг точки А):

Направление углового ускорения определяется вектором aврBA. В данном примере видно, что точка В, вращаясь вокруг А, ускоряется против хода часовой стрелки.

b) Ускорение точки D определяется по формуле (см. рис. 2.6)

В этой формуле известны слагаемые правой части:

Этот вектор направлен от точки D к выбранному полюсу А.

Вектор a-врDA перпендикулярен отрезку AD и направлен соответственно угловому ускорению (ε) треугольника ABD. Так как и величина и направление ускорения точки D неизвестны, то векторное равенство (5) проецируем на выбранные оси координат (OX и OY).

Рис. 2.6
Получим:

Полное ускорение точки D:

Направление ускорения точки D определяется с помощью направляющих косинусов:

cos α – косинус угла между осью OX и вектором ускорения:

cos β - косинус угла между осью OY и вектором ускорения:

Другие примеры решения задач >>