Пример решения задачи К3 на скорость и ускорение точек в заданном положении

Кинематика точки
Пример решения задачи (РГР К3)

Задача
Вершины А и В равностороннего треугольника ABD перемещаются соответственно по осям ОХ и OY. Известны АВ=40 см,   VA=4м/с,  aA=100 м/с2α =600.
Вершины А и В равностороннего треугольника ABD перемещаются

Рис. 2.1
Определить скорости и ускорения точек В и D треугольника в заданном положении.

Решение
1. Определение скоростей точек
а) По теореме о скоростях точек в плоскопараллельном движении:
Направление и величина скорости точки А, VA  известны, скорость точки В направлена вдоль оси OY, а скорость  VBA перпендикулярна стороне АВ. Строим равенство (1) (см. рис.2.2). Из точки О1,  параллельно  оси ОХ,   вдоль которой движется точка А, откладываем в масштабе вектор VA. Из конца вектора VA  проводим линию MN перпендикулярно стороне треугольника АВ (60º с вертикалью), тогда пересечение линии O1K параллельно оси OY и MN обозначит вектор VB . Полученный треугольник скоростей соответствует формуле (1). Умножив масштаб на длины векторов, получим    их величины.   
Если   рис.2.2  строится без соблюдения масштаба, то определение величин скоростей производится с помощью теоремы синусов:



Рис. 2.2
 
Поскольку VBA= ωAB x AB , то может быть определена угловая скорость вращения точки В вокруг А (или, что то же самое, угловая скорость вращения треугольника ABD).
В данном примере не известно направление скорости точки D. Поэтому для определения скорости точки D пишем:

Аналогично (рис.2.2) делаем построение для определения скорости точки D (рис.2.3).
Линия ad перпендикулярна стороне  треугольника AD, bd перпендикулярна BD. Точка D – точка пересечения линии ad и bd определяет конец вектора, проведенного из точки О1; отрезок ad соответствует вектору  VDA, bd – вектору  VDB. При известных углах можно определить величину скорости точки D - VD .


Рис. 2.3

b) Определение скоростей точек с помощью мгновенного центра скоростей.
Мгновенный центр скоростей (МЦС) звена АВ - PV  находится в точке пересечения перпендикуляров к скоростям точек (см. рис. 2.4) – ( АPV ⊥ VA, BPV  оси OY, вдоль которой направлена скорость точки В), после нахождения МЦС -  можно написать соотношение
Направление вращения треугольника определяем по вращению точки А вокруг точки PV (в данном случае против хода часовой стрелки).

Величина угловой скорости треугольника 
Теперь определяем величины скоростей других точек:

Векторы скоростей перпендикулярны соответствующим отрезкам BPV  и DPV, и направлены  в сторону вращения.


Рис. 2.4

2. Определение ускорений точек  B и D
а) Ускорение точки В определяется по формуле
Ускорение точки А задано, т.е. известно по величине и направлению; ускорение aцAB направлено от точки В к точке А и вычисляется по формуле
Известно также, что вектор aB  направлен вдоль оси OY, т.к. точка В движется вдоль этой оси, а вектор  a-врAB  направлен перпендикулярно линии АВ. С учетом сказанного можно построить эти векторы (рис. 2.5а) или построить равенство (4) (рис. 2.5б) и спроецировать его на выбранные оси координат BX1 и BY1:


Рис. 2.5а
 

Рис. 2.5б
на ось BX1
на ось BY1
или

Оба ускорения  aB и aврBA  оказались положительными. Это значит, что предварительный выбор направления (рис. 2.5а) оказался верным.
Из формулы  aврBA= ε x AB  можно определить угловое ускорение треугольника (или точки В при вращении вокруг точки А):
Направление углового ускорения определяется вектором aврBA . В данном примере видно, что точка В, вращаясь вокруг А, ускоряется против хода часовой стрелки.
b) Ускорение точки D определяется по формуле (см. рис. 2.6)
В этой формуле известны слагаемые правой части:
Этот вектор направлен от точки D к выбранному полюсу А. 
Вектор a-врDA  перпендикулярен отрезку AD и направлен соответственно угловому ускорению (ε) треугольника ABD. Так как и величина  и  направление  ускорения точки D неизвестны, то векторное равенство (5) проецируем на выбранные оси координат (OX и OY).


Рис. 2.6

Получим:
Полное ускорение точки D:
Направление ускорения точки D определяется с помощью направляющих косинусов:
cos  α  – косинус угла между осью OX и вектором ускорения:


cos  β  - косинус угла между осью OY и вектором ускорения: