Расчет скорости и ускорения точки обода колеса кривошипного механизма

Кинематика точки
Пример решения задачи (РГР К3)

Задача

Колесо I с радиусом R вращается вокруг оси, проходящей через центр колеса перпендикулярно плоскости чертежа с угловойскоростью  ωI  и угловым ускорением  εI . Независимо от него на той же оси вращается кривошип ОА с угловой скоростью  ωOA  и угловым ускорением  εOA . Кривошип приводит в движение колесо II с радиусом r, которое катится по колесу I (рис. 2.7).

Найти VB и aB , если R=20 см, r=10 см,   ωI =5 с-1,   εI =1 с-2  ωOA =3 с-1,   εOA =2 с-2 .

Решение

Колесо I и кривошип совершают вращательное движение, а колесо II – плоско-параллельное движение.

Найдем    скорость   точки  В,  для этого определим положение мгновенного центра скоростей колеса II. Чтобы найти МЦС нужно, знать направление скоростей хотя бы двух точек тела.



Рис. 2.7

Найдем скорость точки А, которая принадлежит колесу II и кривошипу ОА.

Вектор VA  направлен перпендикулярно отрезку ОА в сторону вращения кривошипа (рис. 2.8).

В точке соприкосновения колес скорость точки колеса II должна равняться скорости точки колеса I. Обозначим эту точку буквой D. Эта точка не принадлежит кривошипу ОА. Так как движение колеса I известно, можно найти скорость точки D.

Вектор скорости точки D направлен перпендикулярно радиусу OD в сторону вращения колеса I. Таким образом, нам известны скорости двух точек колеса II. Проведем перпендикуляр к скоростям в точках А и D и прямую, проходящую через концы векторов скоростей VD и VA .



Рис. 2.8

В точке пересечения  этих линий и будет МЦС для колеса II. Обозначим его буквой CV . Найдем расстояние ACV :

Зная угловую скорость колеса II и его МЦС, найдем скорость точки В.

Вектор VB направлен перпендикулярно отрезку ВСV  в сторону вращения колеса II.

Определим ускорение точки В.

Согласно теореме, ускорение точки В определятся по формуле

где aA - ускорение точки А, принятой за полюс;

aBA - ускорение точки В во вращательном движении, вокруг полюса А.

Точка А принадлежит кривошипу ОА – движение которого известно, тогда

Вектор aτA - направлен перпендикулярно ОА, в сторону, обратную VA, т.к. вращение кривошипа по условию задачи замедленное.

Вектор anA - направлен от А к О.

Вектор

и направлен от точки В к полюсу А.

Для его вычисления найдем угловое ускорение  εII:

r – в задачах такого типа величина постоянная, выносится за знак производной:


Рис. 2.9

 Отсюда

Знак «-» говорит о том, что колесо II вращается замедленно.

Величина aτBA= εII x r=4 x 10=40 см/с2 и направлена перпендикулярно anBA. Полное ускорение найдем, сложив все слагаемые:

Направив ось АX вдоль АО, ось АY перпендикулярно АО, получим:

Вектор aB составляет с осью АХ угол  α, косинус которого
cos  α= aBx/aB=310/317,8=0,975,  α=arccos 0,975=140,
а с осью AY угол b, косинус которого: 
cos   β=aBy/aB=70/317,8=0,22 β =arccos 0,22=760