Пример определения скорости и ускорения груза

Кинематика твердого тела

Задача

Груз A, подвешенный на нити AB, намотанной на барабан, опускается равноускоренно из состояния покоя, приводя во вращение барабан (рисунок 1.9). За первые 3 с барабан совершает 9 оборотов.

Определить в конце 5-й секунды скорость и ускорение точки обода барабана, а также груза A, если диаметр барабана D = 30 см.

Решение
Груз  , подвешенный на нити  , намотанной на барабан, опускается равноускоренно из состояния покоя, приводя во вращение барабан

Рис. 1.9
Барабан вращается равноускоренно согласно уравнению:
Уравнение равнопеременного вращения.
При этом угловая скорость  ω = ω0εt.
Примем начальные условия:  φ= 0 и ω= 0 , тогда имеем
φ = εt/ 2, ω = εt.
Определим угловое ускорение:
ε = 2φ / t2= 2π 2 9 / 32 = 4π с-2.
Угловая скорость барабана в конце 5-й секунды

ω = 4π 5 =20π с-1.

Определим модули вращательной скорости, вращательного и центростремительного ускорений точки   обода барабана в тот же момент времени:
ν = Rω = 0,15 20π = 9,42 м/с,
aвр = Rε = 0,15 4π = 1,88 м/с2,          aцс = Rω20,15 400π= 591,6  м/с2.

Модуль полного ускорения точки обода барабана
Модуль полного ускорения точки обода барабана
Скорость груза равна скорости точки обода барабана 

νA = ν = 9,42 м/с.

Ускорение груза равно вращательному ускорению точки обода 

aA = aвр = 1,88 м/с2.