Движение центра масс механической системы

Теорема о движении центра масс механической системы

Выделим условно из механической системы (рисунок 1.1) некоторую материальную точку Mj(mj), на которую будут действовать две силы:

механическая система, состоящая из материальных точек
Рисунок 1.1

Fji – равнодействующая всех внутренних сил системы;
Fje – равнодействующая всех внешних сил системы.

Рассматривая выделенную точку как свободную, запишем для нее дифференциальное уравнение в векторной форме:

Составим аналогичным образом уравнения (1.5) для всех точек системы (j = 1,2,3,...,n) и формально их просуммируем:

Рассмотрим суммы, стоящие в правой части равенства (1.6):
∑Fji = Ri – главный вектор всех внутренних сил механической системы, который всегда равен нулю (по свойству внутренних сил);
∑Fje = Re – главный вектор всех внешних сил, действующих на механическую систему.

Преобразуем левую часть равенства (1.6):

В результате уравнение (1.6) принимает вид

или
m × ac = Re     (1.9)

Теорема о движении центра масс механической системы: центр масс механической системы движется как материальная точка с массой, равной массе системы, под действием главного вектора внешних сил, действующих на эту механическую систему.

Проецируя векторное равенство (1.8) на неподвижные оси декартовых координат, получаем три дифференциальных уравнения движения центра масс:

Рассмотрим следствия из теоремы о движении центра масс, вытекающие из формул (1.8) и (1.10):

  1. если главный вектор внешних сил, действующих на механическую систему, равен нулю, т.е. Re = ∑Fje = 0, то ac= 0 или Vc= const. При этом, если в начальный момент центр масс механической системы был в покое (Vc=  0), то и в дальнейшем центр масс остается неподвижным (rc= const);
  2. если проекция на какую-либо ось (например на ось Ox) главного вектора внешних сил, действующих на механическую систему, равна нулю, т.е. Rxe = ∑Xje = 0, то acx = 0 или Vcx = const, т.е. имеем закон сохранения проекции скорости центра масс: если проекция главного вектора (алгебраическая сумма проекций) всех действующих на механическую систему внешних сил на какую-либо неподвижную ось равна нулю, то проекция скорости центра масс на эту же ось остается постоянной.

В частности, если в начальный момент Vcx = 0, то и в последующие моменты Vcx = 0 и, следовательно, xc = const, т.е. центр масс системы в этом случае вдоль оси Ox не перемещается.

Теорема об изменении количества движения материальной точки >>