Движение центра масс механической системы

Теорема о движении центра масс механической системы

Выделим условно из механической системы (рисунок 1.1) некоторую материальную точку  Mj(mj), на которую будут действовать две силы: 
Fji – равнодействующая всех внутренних сил системы; 
Fj– равнодействующая всех внешних сил системы. 
         Рассматривая выделенную точку как свободную, запишем для нее дифференциальное уравнение в векторной форме:
         Составим аналогичным образом уравнения (1.5) для всех точек системы (j = 1,2,3,...,n) и формально их просуммируем:
         Рассмотрим суммы, стоящие в правой части равенства (1.6):
          ∑Fji  Ri – главный вектор всех внутренних сил механической системы, который всегда равен нулю (по свойству внутренних сил);
          ∑Fje  Re – главный вектор всех внешних сил, действующих на механическую систему.
         Преобразуем левую часть равенства (1.6):
         В результате уравнение (1.6) принимает вид
или
                                                   m ac= Re                                               (1.9)
         Теорема о движении центра масс механической системы: центр масс механической системы движется как материальная точка с массой, равной массе системы, под действием главного вектора внешних сил, действующих на эту механическую систему.
         Проецируя векторное равенство (1.8) на неподвижные оси декартовых координат, получаем три дифференциальных уравнения движения центра масс:

         Рассмотрим следствия из теоремы о движении центра масс, вытекающие из формул (1.8) и (1.10):
         1) если главный вектор внешних сил, действующих на механическую систему, равен нулю, т.е. R= Fj= 0, то ac =или Vc = const. При этом, если в начальный момент центр масс механической системы был в покое (V= 0), то и в дальнейшем центр масс остается неподвижным (r= const );
         2) если проекция на какую-либо ось (например на ось Ox  ) главного вектора внешних сил, действующих на механическую систему, равна нулю, т.е. Rxe Xje = 0, то acx = 0    или Vcx = const, т.е. имеем закон сохранения проекции скорости центра масс: если проекция главного вектора (алгебраическая сумма проекций) всех действующих на механическую систему внешних сил на какую-либо неподвижную ось равна нулю, то проекция скорости центра масс на эту же ось остается постоянной.
         В частности, если в начальный момент Vcx = 0, то и в последующие моменты Vcx и, следовательно, x= const, т.е. центр масс системы в этом случае вдоль оси Ox не перемещается.