Расчет ускорения точки

Пример расчета ускорения точки

Задача

В плоскости xOy движется диск радиуса 20 cм. Известны ускорения двух точек, лежащих на диаметре диска: aA=40 см/с2 и aB=20 см/с2. Их направления указаны на рисунке 2.38: α=90o, β=30o.

Определить ускорение точки
Рисунок 2.38

Определить ускорение точки K, лежащей в середине дуги AB.

Решение

Для определения угловой скорости и углового ускорения диска напишем формулу для ускорения точки B, взяв за полюс точку A:

В этой формуле два вектора aA и aB полностью известны, у векторов aBAц и aBAвр неизвестны величины, но известны направления: вектор aBAц направлен от B к точке A, т.е. он перпендикулярен aA, а вектор aBAвр перпендикулярен отрезку AB и вектору aBAц. Следовательно, это векторное равенство можно построить (рисунок 2.39).

векторное равенство
Рисунок 2.39

Спроецировав равенство на выбранные оси координат, получим два выражения:

aB∙cos60o=aA+aBAц∙cos90o+aBAвр∙cos180o,
aB∙cos30o=aA∙cos90o+aBAц∙cos0o+aBAвр∙cos90o.

Решая эти выражения, получим:

aBAвр=-aA-aB∙cos60o=40-20/2=30 см/с2;
aBAц=aB∙cos30o=20∙0,8=17,3 см/с2

Учитывая, что

aBAвр=ε∙AB и aBAц2∙AB
находим
ε=30/40=0,75 c-2,
ω2=17,3/40=0,43.

Направление вектора aBAвр показывает, что угловое ускорение диска направлено по ходу часовой стрелки.

Для определения ускорения точки K запишем формулу

aK=aA + aKAц + aKAвр,
в которой
aKAц2∙KA=ω2∙R√2=0,43∙20∙1,41=12,13 см/с2
геометрическое сложение векторов, определяющих ускорение точки
Рисунок 2.40

Этот вектор направлен от точки K к точке Α.

aKAвр=ε∙AK,
aKAвр=0,75∙20∙1,41=21,15 см/с2
aKAвр
 AK,

его направление определяется направлением углового ускорения диска.

На рисунке 2.40 показано геометрическое сложение векторов, определяющих ускорение точки K. Все составляющие известны по величине и направлению. Поэтому, построив в масштабе векторный многоугольник, можно определить величину и направление ускорения точки K.

Для выполнения аналитических расчетов формулу, определяющую ускорение точки K, проецируем на выбранные оси:

aKx=aA∙cos0o+aKAц∙cos45o+aKAвр∙cos135o=
=40+12,13∙0,707-21,15∙0,707=13,62 см/с2;
aKy=aA∙cos90o+aKAц∙cos45o+aKAвр∙cos45o=
=0+12,13∙0,707+21,15∙0,707=23,53 см/с2.

Полное ускорение точки K:

Направление вектора aK определяют углы, которые он составляет с осями координат:

Другие примеры решения задач >>