Определение ускорения точки лежащей в середине дуги

Задача
 В плоскости  xOy движется диск радиуса 20  . Известны ускорения двух точек, лежащих на диаметре диска: aA=40 см/с2   и aB=20 см/с2  . Их направления указаны на рисунке 2.38: α=90o , β=30o .
Определить ускорение точки
Рисунок 2.38
Определить ускорение точки K , лежащей в середине дуги AB .

Решение
    Для определения угловой скорости и углового ускорения диска напишем формулу для ускорения точки B , взяв за полюс точку A :
    В этой формуле два вектора aA  и aB  полностью известны, у векторов aBAц  и  aBAвр неизвестны величины, но известны направления: вектор  aBAц  направлен от  B к точке A , т.е. он перпендикулярен aA , а вектор aBAвр  перпендикулярен отрезку AB  и вектору aBAц . Следовательно, это векторное равенство можно построить (рисунок 2.39).

векторное равенство
Рисунок 2.39

   Спроецировав равенство на выбранные оси координат, получим два выражения:
aB⋅cos60o=aA+aBAц⋅cos90o+aBAвр⋅cos180o,
 aB⋅cos30o=aA⋅cos90o+aBAц⋅cos0o+aBAвр⋅cos90o.
    Решая эти выражения, получим:
                                   aBAвр=-aA-aB⋅cos60o=40-20/2=30 см/с2;
 aBAц=aB⋅cos30o=20⋅0,8=17,3 см/с2
    Учитывая, что  aBAвр=ε⋅AB и aBAц=ω2⋅AB , находим 
ε=30/40=0,75 c-2,  ω2=17,3/40=0,43.
     Направление вектора aBAвр  показывает, что угловое ускорение диска направлено по ходу часовой стрелки.
   Для определения ускорения точки K  запишем формулу
                                                  aK=aA   aKAц   aKAвр,
  в которой   aKAц=ω2KA=ω2⋅R√2=0,43⋅20⋅1,41=12,13 см/с2

геометрическое сложение векторов, определяющих ускорение точки
Рисунок 2.40

    Этот вектор направлен от точки  Kк точке Α .
aKAвр=ε⋅AK,
aKAвр=0,75⋅20⋅1,41=21,15 см/с2
     aKAвр⊥AK , его направление определяется направлением углового ускорения диска. 

    На рисунке 2.40 показано геометрическое сложение векторов, определяющих ускорение точки K . Все составляющие известны по величине и направлению. Поэтому, построив в масштабе векторный многоугольник, можно определить величину и направление ускорение точки K .

 Для выполнения аналитических расчетов формулу, определяющую ускорение точки K , проецируем на выбранные оси:
 aKx=aA⋅cos0o+aKAц⋅cos45o+aKAвр⋅cos135o=40+12,130,707
-21,150,707=13,62 см/с2;
aKy=aA⋅cos90o+aKAц⋅cos45o+aKAвр⋅cos45o=0+12,130,707
+21,150,707=23,53 см/с2.
     Полное ускорение точки K  :

    Направление вектора aK  определяют углы, которые он составляет с осями координат: