Пример расчета ускорения точки
Задача
В плоскости xOy движется диск радиуса 20 cм. Известны ускорения двух точек, лежащих на диаметре диска: aA=40 см/с2 и aB=20 см/с2. Их направления указаны на рисунке 2.38: α=90o, β=30o.
Определить ускорение точки K, лежащей в середине дуги AB.
Решение
Для определения угловой скорости и углового ускорения диска напишем формулу для ускорения точки B, взяв за полюс точку A:
В этой формуле два вектора aA и aB полностью известны, у векторов aBAц и aBAвр неизвестны величины, но известны направления: вектор aBAц направлен от B к точке A, т.е. он перпендикулярен aA, а вектор aBAвр перпендикулярен отрезку AB и вектору aBAц. Следовательно, это векторное равенство можно построить (рисунок 2.39).
Спроецировав равенство на выбранные оси координат, получим два выражения:
aB∙cos30o=aA∙cos90o+aBAц∙cos0o+aBAвр∙cos90o.
Решая эти выражения, получим:
aBAц=aB∙cos30o=20∙0,8=17,3 см/с2
Учитывая, что
ω2=17,3/40=0,43.
Направление вектора aBAвр показывает, что угловое ускорение диска направлено по ходу часовой стрелки.
Для определения ускорения точки K запишем формулу
Этот вектор направлен от точки K к точке Α.
aKAвр=0,75∙20∙1,41=21,15 см/с2
aKAвр⊥ AK,
его направление определяется направлением углового ускорения диска.
На рисунке 2.40 показано геометрическое сложение векторов, определяющих ускорение точки K. Все составляющие известны по величине и направлению. Поэтому, построив в масштабе векторный многоугольник, можно определить величину и направление ускорения точки K.
Для выполнения аналитических расчетов формулу, определяющую ускорение точки K, проецируем на выбранные оси:
=40+12,13∙0,707-21,15∙0,707=13,62 см/с2;
aKy=aA∙cos90o+aKAц∙cos45o+aKAвр∙cos45o=
=0+12,13∙0,707+21,15∙0,707=23,53 см/с2.
Полное ускорение точки K:
Направление вектора aK определяют углы, которые он составляет с осями координат:
Другие примеры решения задач >>