Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

Для изучения вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси воспользуемся теоремой об изменении момента количества движения (кинетического момента) механической системы относительно оси (3.10):

dKz/dt = Mze.    (3.11)

Пусть на твердое тело, имеющее неподвижную ось вращения z (рисунок 3.4), действует система заданных внешних активных сил (F1, F2, F3,..., Fn), определяющих угловую скорость ω и угловое ускорение ε этого тела в его вращательном движении вокруг оси z. Одновременно на это же тело действуют силы реакции RA подпятника и RB радиального подшипника.

Определяем правую часть уравнения (3.11):

Mze=∑Mz(Fje)+Mz(RA)+Mz(RB).

Поскольку

Mz(RA) = Mz(RB)=0,

то

Mвращ = Mze= ∑Mz(Fje).

Рисунок 3.4

Найдем момент количества движения (кинетический момент) Kz вращающегося твердого тела. Для этого выделим точку Mj тела на расстоянии rj от оси вращения и имеющую скорость Vj=ω∙rj. Очевидно, что

Kzj=mj ∙Vj ∙ rj=mj ∙ ω ∙ rj2

Тогда момент количества движения (кинетический момент) всего вращающегося тела будет:

Kz = ∑Kzj = ∑mj ∙ ω ∙ rj2,

где ∑mj ∙ rj2= Jz.

Следовательно, окончательно будем иметь

Kz = Jz ∙ ω.    (3.12)

Подставляя в уравнение (3.11) выражение (3.12), получаем

Jz ∙ dω/dt = Mвращ,
или
Jz ∙ d2φ/dt2 = Mвращ.    (3.13)

Уравнение (3.13) представляет собой дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Поскольку dω/dt = ε, имеем

ε = Mвращ/Jz.    (3.14)

Полученное выражение (3.14) показывает, что осевой момент инерции Jz тела следует рассматривать как меру инертности твердого тела при его вращательном движении вокруг неподвижной оси.

Примеры решения задач >>