Изменение момента количества движения механической системы

Теорема об изменении момента количества движения (кинетического момента) механической системы

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек. Выделим из этой системы некоторую точку Mj с массой mj (рисунок 3.3). На выделенную точку в итоге будут действовать две силы: равнодействующая внешних сил и равнодействующая внутренних сил (Fje и Fji соответственно).

Для выделенной точки Mj, как для свободной точки, можем применить теорему об изменении момента количества движения (кинетического момента) (3.4):

dK0j/dt = M0(Fje) + M0(Fji).    (3.6)

Рисунок 3.3

Аналогичные уравнения запишем для всех точек системы (j=1,2,3,...,n) и сложим их почленно:

∑dK0j / dt = ∑M0(Fje) + ∑M0(Fji).    (3.7)

Рассмотрим каждую сумму в отдельности:

∑dK0j / dt = d∑K0j / dt = dK0 / dt,    (3.8)

где ∑K0j = K0 – главный момент количества движения (кинетический момент) механической системы относительно некоторого центра O;
∑M0(Fje) = M0e – главный момент внешних сил механической системы;
M0(Fji) = M0j = 0 – главный момент внутренних сил механической системы, который равен нулю (по свойству внутренних сил механической системы).

В итоге получаем

dK0 / dt = M0e.    (3.9)

Уравнение (3.9) выражает теорему об изменении главного момента количества движения (кинетического момента) механической системы: производная по времени от главного момента количества движения (кинетического момента) механической системы относительно некоторого неподвижного центра равна главному моменту всех внешних сил, действующих на эту систему, относительно того же центра.

Проецируя равенство (3.9) на неподвижные оси декартовой системы координат, получаем

dKx/dt = Mxe;
dKy/dt = Mye;
dKz/dt = Mze.
    (3.10)

Уравнения (3.10) выражают собой теорему об изменении кинетического момента системы относительно координатных осей: производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) механической системы относительно какой-либо неподвижной оси равна главному моменту всех внешних сил, действующих на эту систему, относительно той же оси.

Рассмотрим следствия из теорем (3.9) и (3.10).

Следствие 1

Если главный момент внешних сил системы относительно центра равен нулю (M0e), то, согласно (3.9), момент количества движения (кинетический момент) системы относительно того же центра остается постоянным по величине и направлению, т.е. M0 = const.

Этот частный случай выражает закон сохранения момента количеств движения (кинетического момента) системы относительно центра.

Следствие 2

Если сумма моментов всех внешних сил системы относительно какой-либо оси равна нулю, например, Mxe = ∑Mx(Fje) = 0, то из (3.10) следует, что Kx = const, т.е. момент количества движения (кинетический момент) механической системы относительно этой оси остается постоянным.

Из теорем об изменении момента количества движения (кинетического момента) механической системы относительно центра (3.9) и относительно оси (3.10), а также следствий из них следует, что внутренние силы не могут непосредственно изменить момент количеств движения (кинетический момент) изолированной механической системы.

Внутренние силы могут влиять на момент количества движения (кинетический момент) механической системы в том случае, если их действие приводит к возникновению внешних сил, т.е. косвенным образом через возникновение внешних сил.

Приведенные выше теоремы об изменении момента количества движения (кинетического момента) механической системы (3.9) и (3.10) остаются справедливыми и по отношению к подвижным осям координат, имеющим свое начало в центре системы и движущимся поступательно вместе с центром масс по отношению к неподвижным осям координат.

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси >>