Ньютоновская теория удара

Ньютоновская теория удара

Основные понятия

Явление, при котором за очень малый промежуток времени скорости точек тела изменяются на конечную величину, называется ударом. Силы, возникающие при таком взаимодействии, называются ударными.

Ударная сила F достигает значительной величины. Импульс ударной силы называется ударным импульсом и является конечной величиной:

ударный импульс

где τ – продолжительность удара (очень малый промежуток времени, в течение которого происходит удар).

В теории удара принимаются следующие основные допущения:

  • скорости точек изменяются практически мгновенно на конечную величину;
  • импульсами неударных сил пренебрегают;
  • точки системы за время удара не перемещаются.

В теории удара применяют теорему об изменении количества движения материальной точки: изменение количества движения материальной точки за время удара равно действующему на эту точку ударному импульсу

где m – масса точки, ν – скорость точки до удара, u – скорость точки после удара.

При проекции на координатные оси можно получить три скалярных уравнения:

Для механической системы, состоящей из n точек, уравнение (2) можно представить в виде

где m – масса k-той точки, νk и uk – скорости k-той точки соответственно до и после удара, Sk(e)равнодействующая всех внешних ударных импульсов, приложенных к k-той точке.

Теорема об изменении количества движения механической системы при ударе звучит так: изменение количества движения механической системы за время удара равно геометрической сумме всех внешних ударных импульсов, действующих на эту систему.

Уравнение (4) можно записать в виде

где m – масса всей системы, νc и uc – скорости центров масс системы соответственно в начале и в конце удара.

В проекциях на координатные оси получаем:

mucx - mνcx = ∑Skx(e),
mucy - mνcy = ∑Sky(e), (6)
mucz - mνcz = ∑Skz(e)
.

Теорема об изменении кинетического момента при ударе формулируется следующим образом: изменение кинетического момента механической системы за время удара относительно какого-либо центра равно геометрической сумме моментов всех внешних ударных импульсов, действующих на эту систему относительно того же центра

где L0(1) и L0(2) – кинетические моменты системы относительно центра соответственно до и после удара:

∑M0Sk(e) – сумма моментов внешних ударных импульсов относительно точки O:

В проекциях на координатные оси уравнение (7) принимает вид:

Кинетическая энергия до удара для двух соударяющихся точек или тел, движущихся поступательно, записывается в виде

T0 = ½m1v12 + ½m2v22, (9)

где v1 и v2 – скорости соударяющихся точек или тел до удара.

Кинетическая энергия точек или тел, движущихся поступательно, после удара равна

T = ½m1u12 + ½m2u22, (10)

где u1 и u2 – скорости точек или тел после удара.

Стадии удара

При ударе двух тел различают две стадии удара. Первая стадия: тела входят в контакт друг с другом и после этого центры масс их продолжают сближаться за счет деформации тел (упругих и пластических). Первая стадия – стадия деформации – заканчивается тогда, когда деформации обоих тел достигают максимального значения.

Вторая стадия – стадия восстановления: упругие свойства тел, если они имели место, заставляют центры масс удаляться друг от друга. В то время как пластические деформации (если они имели место) остаются. Упругие деформации полностью исчезают и тела начинают двигаться порознь.

Степень восстановления формы тел зависит от упругих свойств материалов этих тел и характеризуется соотношением скоростей тел до и после удара.

Ньютоном введен коэффициент восстановления при ударе, величина которого определяется по формуле

k = u/v,    0<k<1, (11)

где v и u – относительные скорости соударяющихся тел соответственно до и после удара.

Если тело падает с высоты H и после удара о неподвижную поверхность поднимается на высоту h, то коэффициент восстановления равен

Если удар абсолютно упругий, то соударяющиеся тела полностью восстанавливают свою форму, при этом k = 1. Если удар абсолютно неупругий, то тела на второй стадии не восстанавливают свою форму, при этом k = 0

Промежуточные значения соответствуют случаям не вполне упругого удара. Случай абсолютно упругого удара (k = 1) имеет лишь теоретическое значение. В зависимости от материала соударяющихся тел коэффициент восстановления имеет различные значения.

Примеры решения задач по динамике >>