Рассмотрим решение задачи по составлению и определению суммы моментов внешних сил приложенных к заданной системе относительно её точек.

Задача
К составной планке, показанной на рисунке

приложены следующие нагрузки:

1. Внешние сосредоточенные силы F₁=10кН и F₂=50кН расположенная под углом
2. Сосредоточенный момент m=70кНм
3. Равномерно-распределённая нагрузка q интенсивностью 20кН/м

Требуется составить и определить алгебраическую сумму моментов относительно точек A, B и D.

Решение

Обозначим характерные точки системы буквами и покажем систему координат x-y.

Для записи и расчета уравнений суммы моментов надо мысленно закрепить систему в рассматриваемой точке и записать все внешние усилия, которые стремятся повернуть систему.

Момент силы определяется по формуле

где h — расстояние от точки до линии действия силы называемое плечом.

Другие видео

При этом, по правилу знаков, нагрузки, поворачивающие систему против хода часовой стрелки записываются положительными и наоборот.

При записи уравнений суммы моментов:

• Силы умножаются на плечо;
• Равномерно распределенные нагрузки умножаются на длину (получается равнодействующая сила), полученное произведение умножается на плечо, которым служит расстояние от её середины до рассматриваемой точки;
• Сосредоточенный момент в сумме моментов записывается как есть (с учётом знака).

Примеры составления суммы моментов сил

Определим алгебраические суммы моментов сил относительно произвольных точек системы.

Для некоторого упрощения решения задачи, распределенную нагрузку можно заменить её равнодействующей

которая при равномерном распределении приложена посередине:

а сосредоточенную силу F₂ можно разложить на составляющие, спроецировав её на оси x и y.

Получается упрощенная расчетная схема:

Расчет суммы моментов относительно точки, к которой приложена сила

Для точки A:
Силы R_q и F_2X создают момент, вращающий по ходу часовой стрелки, поэтому будут записаны со знаком минус.
Сила F_2Y относительно точки A имеет обратное направление и создает положительный момент.

Здесь h₁, h₂ и h₃ плечи моментов соответствующих сил и равнодействующей распределенной нагрузки относительно точки A.

Линия действия силы F₁ проходит через саму точку A, следовательно, плечо равно нулю, поэтому момент этой силой в данном случае не создается.

Таким образом, относительно точки A уравнение суммы моментов будет иметь вид:

Здесь сумма моментов относительно точки A отрицательна, поэтому, если данную систему закрепить в этой точке, она будет вращаться по ходу часовой стрелки.

Определение суммы моментов относительно точки, в которой приложен момент

Для точки B надо помнить что момент приложенный в точке, относительно которой записывается сумма, в уравнении участвует.

Поэтому алгебраическая сумма моментов относительно точки B равна:

Знак «-» так же показывает на вращение системы по ХЧС.

Сумма моментов относительно точки, где действует распределенная нагрузка

Для точки D:
Здесь надо смотреть, как расположена равнодействующая нагрузки по отношению к рассматриваемой точке.
В данном случае она находится справа от точки и направлена вниз, следовательно, создает вращение по ходу часовой стрелки.

Плечом момента нагрузки служит расстояние между равнодействующей и точкой.

Уравнение суммы моментов для точки под распределенной нагрузкой (в точке D) запишется в виде:

Положительный результат показывает вращение системы против ХЧС.

Направления определенных сумм моментов относительно заданных точек

При определении суммы моментов следует помнить, что в отличие от сил и распределенных нагрузок, сосредоточенный момент будет иметь один и тот же знак относительно любой точки системы.

Уравнения суммы моментов можно составить относительно любых других точек системы, в том числе точек, которые лежат вне заданной системы. Но, как правило, при решении задач этого не требуется.

Для статичных, геометрически неизменяемых систем сумма моментов всегда равна нулю.

Другие примеры решения задач статики >