Определение усилий в стержнях

Задача

 Груз Q=1000 Н удерживается с помощью двух невесомых стержней, шарнирно скрепленных между собой в точке A  и в шарнирах B и C с вертикальной стеной (α=60oβ=30o). Определить усилия в стержнях AB  и BC  (рисунок 2.1, а).


Определить усилия в стержнях

Рисунок 2.1
Решение

В данном случае следует рассмотреть равновесие точки A, т.к. все силы приложены в этой точке.

Нить с грузом натянута силой Q. В равновесии точку A удерживают два невесомых стержня. Их реакции всегда направлены вдоль стержней. Реакции принято направлять от узла (точки A), т.е. предполагается, что стержни работают на растяжение (рисунок 2.1, б). В случае отрицательного ответа при решении уравнений стержень работает на сжатие.

    При равновесии системы сил выполняется равенство


Это векторное равенство можно построить. Откладываем в масштабе известную силу Q , к концу вектора прибавляем SAB , т.к. его величина и направление неизвестны, проводим через конец вектора Q  горизонтальную линию (параллельно SAB, рисунок 2.1, б). Замыкающий вектор SAC  должен пройти через начало вектора Q под углом β  к вертикали. Результатом построения является замкнутый треугольник (рисунок 2.1, в). Величины напряжений в стержнях можно получить, умножая замеренные значения векторов сил на масштаб или воспользовавшись теоремой синусов: 



Направление силы SAC в силовом треугольнике говорит о том, что этот стержень работает на сжатие.

Задача может быть решена и аналитически. Для этого выбираем систему координат xAy (рисунок 2.1, б) и проецируем на ее оси векторное равенство (2.3):


 xi=0SA+SAsin β=0 ;

                                          yi=0Q+SAsinα=0. (2.5)

    При этом  sinβ =cosα, sinα =cosβ.

    После решения уравнений находим 


 SA= - Q/sinαSA= - SAsinβ = sinβ/sinα. (2.6)

То есть и в этом решении по знакам в ответах получаем, что стержень AC работает на сжатие, а стержень  AB – на растяжение.