Уравнения равновесия

Как составлять уравнения равновесия

Уравнения равновесия (статики) характеризуют неподвижность заданной системы нагруженной комплексом внешних усилий.

При решении задач теоретической механики и сопротивления материалов (например, при определении опорных реакций или внутренних силовых факторов) исходя из условия неподвижности системы или ее частей, записываются уравнения равенства нулю сумм проекций всех сил на оси выбранной системы координат

Уравнения проекций сил на оси

что следует из условия отсутствия перемещения системы вдоль этих осей, и сумм моментов относительно произвольных точек системы

Уравнения суммы моментов системы

из условия отсутствия ее вращения относительно указанных осей.

Надо отметить что в случае действия плоской системы сил можно получить только три уравнения статики, а линейная схема нагружения позволяет записать лишь одно уравнение.

Пространственно нагруженная система

Пример составления уравнений равновесия

В качестве примера, рассмотрим общий случай пространственного нагружения, где комплекс усилий, включающий сосредоточенные силы F1-F6, равномерно распределенную нагрузку q, и момент m расположенный в плоскости перпендикулярной длинному стержню, удерживает L-образную систему в равновесии.

Обозначим характерные точки системы буквами A, B, C и D, зададим положение трехмерной системы координат xyz и запишем уравнения равновесия.

Уравнения равновесия для пространственного нагружения

Суммы проекций сил

Сумма проекций всех сил на ось x (с учетом правила знаков для сил):

Сумма проекций сил на ось x
- на ось y:
Сумма проекций сил на ось y

здесь при записи силы от распределенной нагрузки ее интенсивность q умножается на ее длину AB.

- на ось z:
Сумма проекций сил на ось z

Суммы проекций моментов

Суммы моментов всех нагрузок, например, относительно точки B (с учетом правила знаков для моментов):

  • в плоскости xOy:
    Сумма моментов относительно оси z
  • в плоскости xOz:
    Сумма моментов относительно оси y
  • в плоскости yOz:
    Сумма моментов относительно оси x

Определение момента от распределенной нагрузки рассмотрено здесь.

Из полученных шести уравнений можно определить не более шести неизвестных усилий.


Примеры решения задач >
Краткая теория >