Скорости и ускорения точек при вращении

Скорости и ускорения точек при вращении тела вокруг неподвижной точки

Скорости точек твердого тела, совершающего сферическое движение, в каждый момент времени определяются как их вращательные скорости при вращении вокруг мгновенной оси Ω (рисунок 3.4). Зная положение мгновенной оси вращения Ω и угловую скорость тела ω, можно определить скорость любой точки тела M как скорость этой точки во вращательном движении вокруг мгновенной оси по известной формуле
ν = ω × r ,
где  r  - радиус-вектор точки  M, проведенный из неподвижной точки O.
Скорости точек твердого тела, совершающего сферическое движение
Рис. 3.4

Модуль скорости 
ν = ωr sin γ = ωhΩ,
где hΩ - расстояние точки от мгновенной оси вращения.
Введем подвижную Oxyz и неподвижную Ox1y1z1 системы координат  аналогично рисунку 3.1.
Для проекций скорости точки на неподвижные и подвижные оси получены формулы Эйлера:
для неподвижной системы координат

для подвижной системы координат

Из формул (4), (5) можно получить уравнения мгновенной оси в неподвижной и подвижной системах координат, положив для точек, лежащих на мгновенной оси, все проекции скорости равными нулю.
Для неподвижной системы координат:

Для подвижной системы координат:

Если положение мгновенной оси Ω уже установлено, то для нахождения угловой скорости ω достаточно знать скорость ν какой-либо точки M, не лежащей на мгновенной оси (рисунок 3.4). Тогда, опустив из этой точки перпендикуляр hΩ на мгновенную ось Ω, получим ν = ω⋅ hΩ , откуда
ω = ν / hΩ.

положение мгновенной оси

Рис. 3.5

Для определения ускорения точки твердого тела служит теорема Ривальса: ускорение любой точки твердого тела при сферическом движении определяется как геометрическая сумма ее вращательного и осестремительного ускорений
 a = aEвр + aΩос  (3.8)
где  aEвр = ε × r- вращательное ускорение точки, 
   aΩос = ω × ν- осестремительное ускорение точки.

Модули этих ускорений (рисунок 3.5)
 aEвр = hEε и  aΩос = hΩω2   (3.9)
где hE - расстояние от точки до оси углового ускорения E,
     hΩ  - расстояние от точки до мгновенной оси  Ω.
Модуль ускорения точки можно найти как диагональ параллелограмма:
Модуль ускорения точки

При сферическом движении осестремительное ускорение aΩос направлено по перпендикуляру, опущенному из точки на мгновенную ось  Ω, а вращательное ускорение aEвр оказывается перпендикулярно плоскости проходящей через вектор углового ускорения ε и радиус-вектор r. Направление вращательного ускорения не совпадает с направлением скорости  ν.