Скорости и ускорения точек при сферическом движении

Скорости и ускорения точек при вращении тела вокруг неподвижной точки

Скорости точек твердого тела, совершающего сферическое движение, в каждый момент времени определяются как их вращательные скорости при вращении вокруг мгновенной оси Ω (рисунок 3.4).

Зная положение мгновенной оси вращения Ω и угловую скорость тела ω, можно определить скорость любой точки тела M как скорость этой точки во вращательном движении вокруг мгновенной оси по известной формуле

ν = ω × r

где r - радиус-вектор точки M, проведенный из неподвижной точки O.

Скорости точек твердого тела, совершающего сферическое движение
Рис. 3.4

Модуль скорости

ν = ωr sin γ = ωhΩ

где hΩ - расстояние точки от мгновенной оси вращения.

Введем подвижную Oxyz и неподвижную Ox1y1z1 системы координат аналогично рисунку 3.1.

Для проекций скорости точки на неподвижные и подвижные оси получены формулы Эйлера:

  • для неподвижной системы координат
  • для подвижной системы координат

Из формул (4), (5) можно получить уравнения мгновенной оси в неподвижной и подвижной системах координат, положив для точек, лежащих на мгновенной оси, все проекции скорости равными нулю.

  • Для неподвижной системы координат:
  • Для подвижной системы координат:

Если положение мгновенной оси Ω уже установлено, то для нахождения угловой скорости ω достаточно знать скорость ν какой-либо точки M, не лежащей на мгновенной оси (рисунок 3.4).

Тогда, опустив из этой точки перпендикуляр hΩ на мгновенную ось Ω, получим ν = ω hΩ, откуда

ω = ν / hΩ.
положение мгновенной оси

Рис. 3.5

Для определения ускорения точки твердого тела служит теорема Ривальса: ускорение любой точки твердого тела при сферическом движении определяется как геометрическая сумма ее вращательного и осестремительного ускорений

a = aEвр + aΩос  (3.8)

где

aEвр = ε × r - вращательное ускорение точки,
aΩос = ω × ν - осестремительное ускорение точки.

Модули этих ускорений (рисунок 3.5)

aEвр = hEε и aΩос = hΩω2  (3.9)

где hE - расстояние от точки до оси углового ускорения E,

hΩ - расстояние от точки до мгновенной оси Ω.

Модуль ускорения точки можно найти как диагональ параллелограмма:

Модуль ускорения точки

При сферическом движении осестремительное ускорение aΩос направлено по перпендикуляру, опущенному из точки на мгновенную ось Ω, а вращательное ускорение aEвр оказывается перпендикулярно плоскости проходящей через вектор углового ускорения ε и радиус-вектор r.

Направление вращательного ускорения не совпадает с направлением скорости ν.

>> Пример решения задачи по теме