Определение положения, скорости и ускорения точки по уравнениям ее движения

Определение положения, скорости и ускорения точки по уравнениям ее движения

Пример решения РГР К1

Задача

Дано: уравнения движения точки M

x=4t см,
y=16t2-1 см. (1)

Необходимо установить вид траектории движения точки M и для момента времени t=t1=0,5 с найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Решение

Уравнения движения (1) можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки. Чтобы получить уравнения траектории в координатной форме, исключим время t из уравнений (1).

Получаем y=x2-1, т.е. траекторией точки является парабола (рисунок 2.1).

Вектор скорости точки

Найдем их, дифференцируя по времени уравнения движения (1):

По найденным проекциям определяются модуль скорости

Модуль касательного ускорения точки

Здесь dv/dt выражает проекцию ускорения точки на направление ее скорости. Знак «+» при dv/dt означает, что движение точки ускоренное, направления

совпадают; знак «–» – что движение замедленное.

Модуль нормального ускорения точки
Рисунок 2.1

Модуль нормального ускорения точки

Если радиус кривизны траектории ρ в рассматриваемой точке неизвестен, то an можно определить по формуле

При движении точки в плоскости формула (8) принимает вид

Модуль нормального ускорения можно определить и следующим образом:

После того как найдено нормальное ускорение по формулам (8) или (9), радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения

Результаты вычислений по формулам (3) – (6), (9) и (12) для заданного момента времени t1=0,5 с приведены в таблице 2.1.

Таблица 2.1

На рисунке 2.1 показано положение точки M в заданный момент времени и векторы скорости и ускорений в выбранном масштабе. Вектор v строим по составляющим vx и vy, причем этот вектор должен по направлению совпадать с касательной к траектории.

Вектор a строим по составляющим ax и ay и затем раскладываем на составляющие векторы aτ и an. Совпадение величин aτ и an, найденных из чертежа, с их значениями, полученными аналитически, служит критерием правильности решения.

Другие примеры решения задач >>