Определение положения точки на траектории по уравнению ее движения

Кинематика точки
Пример решения задачи (РГР К1)

Задача
Дано: уравнения движения точки M  

 x=4t см,  y=16t2-1 см. (1)

Необходимо установить вид траектории движения точки M и для момента времени t=t1=0,5с найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.
Решение.
Уравнения движения (1) можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки. Чтобы получить уравнения траектории в координатной форме, исключим время t  из уравнений (1). 

Получаем y=x2-1 , т.е. траекторией точки является парабола (рисунок 2.1).
Вектор скорости точки 
Найдем их, дифференцируя по времени уравнения движения (1):

По найденным проекциям определяются модуль скорости

Модуль касательного ускорения точки

Здесь dv/dt выражает проекцию ускорения точки на направление ее скорости. Знак «+» при dv/dt означает, что движение точки ускоренное, направления
совпадают; знак «–» – что движение замедленное.
Модуль нормального ускорения точки
 
Рисунок 2.1


Модуль нормального ускорения точки
Если радиус кривизны траектории r  в рассматриваемой точке неизвестен, то an можно определить по формуле
При движении точки в плоскости формула (8) принимает вид
Модуль нормального ускорения можно определить и следующим образом:
После того как найдено нормальное ускорение по формулам (8) или (9), радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения
Результаты вычислений по формулам (3) – (6), (9) и (12) для заданного момента времени  t1=0,5с приведены в таблице 2.1. 

Таблица 2.1

На рисунке 2.1 показано положение точки M  в заданный момент времени и векторы скорости и ускорений в выбранном масштабе. Вектор  v строим по составляющим vx  и vy, причем этот вектор должен по направлению совпадать с касательной к траектории. Вектор a  строим по составляющим ax и ay  и затем раскладываем на составляющие векторы aτ  и an. Совпадение величин   aτ  и an, найденных из чертежа, с их значениями, полученными аналитически, служит критерием правильности решения.