Построение эпюры изгибающих моментов для консольной балки

Построение эпюры изгибающих моментов Mx для консольной балки

Рассмотрим порядок построения эпюры изгибающих моментов Mx для консольной балки с жесткой заделкой.

Ранее для данной балки уже были рассмотрены примеры определения опорных реакций и построения эпюры поперечных сил Qy.

Покажем найденные опорные реакции и выбранную систему координат.

Для построения эпюры изгибающих моментов Mx запишем их выражение по каждому силовому участку и рассчитаем их значения на границах участков. При этом воспользуемся методом сечений.

Нумерацию силовых участков балки, сечения и другие вспомогательные обозначения примем из расчета эпюры Qy.

Рассмотрим I силовой участок:

Выбрав левую часть балки, отбросим ненадолго правую, и запишем имеющиеся данные.

I с.у.  (AB)  0 ≤ z≤ 0,5м

Внутренний изгибающий момент в указанном сечении равен сумме всех внешних моментов, воздействующих на рассматриваемую часть балки.

Здесь на момент в рассматриваемом сечении влияют только опорные реакции M и R, то есть сумма моментов состоит из двух слагаемых.

По правилу знаков момент, который стремится сжать верхние слои балки, принимается положительным, следовательно:

MxI=Σmi=M+Rz1=30+60z1

В выражении переменная z1 в первой степени, поэтому эпюра Mx на первом участке будет иметь вид прямой линии.

Рассчитаем значения MxI на границах участка, т.е. при z1=0 и при z1=0,5м

MxI (z1=0)=30кНм
MxI (z1=0,5м)=60кНм

Переходим на второй силовой участок:

Рассекаем балку в произвольном месте участка и рассматриваем её правую часть.

Эта часть балки изгибается силой F и распределенной нагрузкой q.

II с.у. (BC)  0 ≤ z2 ≤ 1м
MxII=Σmi=-qz2(z2/2)+Fz2= -50z22+40z2

Получено выражение с переменной z2 во второй степени, значит, эпюра Mx на втором участке будет иметь вид параболы.

Для построения параболы требуется как минимум три точки. Этими точками будут значения Mx на границах и в середине II силового участка, то есть при z2=0, z2=1м и z2=0,5м.

MxII(z2=0)=0
MxII(z2=0,5м)=7,5кНм
MxII(z2=1м)= -10кНм

По полученным данным строим эпюру изгибающих моментов Mx (готовую эпюру Qy перенесем из ранее рассмотренной задачи)

I с.у.  (AB)  0 ≤ z≤ 0,5м.
MxI=30+60z1 (прямая)
MxI(z1=0)=30кНм
MxI(z1=0,5м)=60кНм

II с.у.  (BC)  0 ≤ z2 ≤ 1м
MxII= -50z22+40z2 (парабола)
MxII(z2=0)=0
MxII(z2=0,5м)=7,5кНм
MxII(z2=1м)= -10кНм

Прежде чем соединять отмеченные точки эпюры параболой, обратите внимание на эпюру поперечных сил Qy.

Qy - первая производная от Mx. Поэтому в том месте, где Qy пересекает базовую линию (т.е. Qy=0) на эпюре Mx будет экстремум.

Рассчитаем значение экстремума эпюры Mx на II участке балки.

Для этого:
  1. Выражение QyII приравняем к нулю
    QyII=100z2-40=0
  2. Выразим из него z2
    z2=40/100=0,4м
  3. Подставим z2 в выражение для MxII
    MxIIэкстр(z2=0,4м)= -500,42+400,4=8кНм

Отметив эту точку в области эпюры где Qy=0 соединим ее с тремя другими параболой.

Эпюра изгибающих моментов построена. Проверка эпюры Mx.

Эпюра изгибающих моментов M для консольной балки