Уравнения Лагранжа второго рода

Уравнения Лагранжа второго рода

Рассмотрим механическую систему, имеющую s  степеней свободы, на которую наложены стационарные, идеальные, голономные связи.

В этом случае положение системы определяется s  обобщенными координатами  q1q2,...qs. Кинетическая энергия такой системы является функцией обобщенных координат q1q2,...qs, обобщенных скоростей

и времени

Для такой системы можно записать   уравнений, которые называются уравнениями Лагранжа второго рода или дифференциальными уравнениями движения в обобщенных координатах:

где Qj  – обобщенная сила.

Уравнения Лагранжа второго рода могут быть обобщены на случай связей, осуществляемых с трением, хотя они и не являются идеальными. Для этого следует силу трения перенести из группы сил реакции в группу активных сил, тогда связь с трением можно формально считать идеальной.

Уравнения Лагранжа второго рода представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат  q1q2,...qs. Дважды интегрируя эти уравнения и определяя по начальным условиям постоянные интегрирования, получим систему уравнений движения в обобщенных координатах:

 qi = qi(t), ÷ s .