Определение скорости и ускорения точки механизма стрелочного индикатора

Задача  
  В механизме стрелочного индикатора движение от рейки AB , движущейся в вертикальных направляющих по закону: x=2sinπt см , передается через шестерни 1, 2, 3, 4, 5 стрелке, скреплённой с шестернёй 5; шестерни 2 и 1, 3 и 4 скреплены между собой. 
определить в момент времени  скорость и ускорение точки
Рисунок 2.9
Считая известными радиусы шестерён и длину стрелки l , определить в момент времени  t=2/3 с скорость и ускорение точки  K – конца стрелки (r1=3 см,  r2=1,5 смr3=2 смr4=1 смr5=1,5 смl=4 см).
Решение
    В задаче движение от рейки AB  передается через систему шестерен стрелке.
    При поступательном движении рейки скорости и ускорения всех ее точек равны и одинаково направлены. Поэтому скорость точки C  (точки касания рейки и шестерни 1) может быть определена как производная от закона движения рейки:

                                      VC=dx/dt=2πcosπt см/с.
    Угловая скорость скрепленных друг с другом шестерен 1 и 2 определится из формулы

                 VC=ω12r1,  т.е.     ω12=VC/r1= 2πcosπt/r1     c-1.    

    Шестерня 2 находится в зацеплении в точке  D с шестерней 3, скрепленной с шестерней 4, поэтому их угловая скорость определяется из соотношения:
           VD=ω12r2=ω34r3,    ω34=ω12r2/r3=2πcosπtr2/r1r3  c-1.

     Угловая скорость стрелки и скрепленной с ней шестерни 5 определится из формулы для скорости точки  E – точки зацепления шестерен 4 и 5
      VE=ω34r4=ω5r5  ,   ω5=ω34r4/r5=2πcosπtr2r4/r1r3rc-1.
             
   Положительное смещение по оси x  стержня   определяет и положительное направление вращений всех шестерен. В нашей задаче в момент времени t=2/3 с  скорость точки  C равна
                   VC=2πcosπ2/3=2πcos120o=2π(-1/2)=-π=-3,14 см/с.

    Соответственно с направлением скорости VC , противоположной положительному направлению оси  , определяются направления вращения всех шестерен (рисунок 2.9). Для угловой скорости шестерни 5 получим
        ω5=2πcos(π2/3)1,51,0/321,5=2πcos120o1,51,0/321,5=-0,52 c-1
    Её угловое ускорение:
ε5=dω5/dt=-2π2sinπtr2r4/r1r3r5=-23,142sin(π2/3)1,51,0/321,5=-2,84 c-2.
Направление векторов скорости, касательного, нормального и полного ускорения точки
Рисунок 2.10


     То есть вращение шестерни 5 и стрелки ускоренное (направления ω5  и  ε5 совпадают).
     Величина скорости точки K  (конца стрелки)
                           VK=ω5l=0,524=2,08 см/с.
     Ускорение точки   определяется по формулам (3.11):
                         an=ω52l=0,5224=1,08 см/с2;
                         aτ=ε5l=2,844=11,37 см/с2;

    Направление векторов скорости, касательного, нормального и полного ускорения точки  K стрелки показано на рисунке 2.10.