Расчет скорости и ускорения точки в заданный момент времени

Расчет скорости и ускорения точки в заданный момент времени

Задача

В механизме стрелочного индикатора движение от рейки AB, движущейся в вертикальных направляющих по закону: x=2sinπt см, передается через шестерни 1, 2, 3, 4, 5 стрелке, скреплённой с шестернёй 5; шестерни 2 и 1, 3 и 4 скреплены между собой.

определить в момент времени  скорость и ускорение точки
Рисунок 2.9

Считая известными радиусы шестерён и длину стрелки l, определить в момент времени t=2/3 с скорость и ускорение точки K – конца стрелки (r1=3 см, r2=1,5 см, r3=2 см, r4=1 см, r5=1,5 см, l=4 см).

Решение

В задаче движение от рейки AB передается через систему шестерен стрелке.

При поступательном движении рейки скорости и ускорения всех ее точек равны и одинаково направлены. Поэтому скорость точки C (точки касания рейки и шестерни 1) может быть определена как производная от закона движения рейки:

VC=dx/dt=2πcosπt см/с.

Угловая скорость скрепленных друг с другом шестерен 1 и 2 определится из формулы

VC12∙ r1,
т.е.
ω12=VC/r1= 2πcosπt/r1 c-1.

Шестерня 2 находится в зацеплении в точке D с шестерней 3, скрепленной с шестерней 4, поэтому их угловая скорость определяется из соотношения:

VD12∙ r234∙ r3,
ω3412∙ r2/r3=2πcosπt∙r2/(r1∙r3) c-1.

Угловая скорость стрелки и скрепленной с ней шестерни 5 определится из формулы для скорости точки E – точки зацепления шестерен 4 и 5

VE34∙r45∙r5,
ω534∙r4/r5=2πcosπt∙r2∙r4/(r1∙r3∙r5) c-1.

Положительное смещение по оси x стержня определяет и положительное направление вращений всех шестерен. В нашей задаче в момент времени t=2/3 с скорость точки C равна

VC=2π∙cosπ∙2/3=2πcos120o=
=2π(-1/2)= -π= -3,14 см/с.

Соответственно с направлением скорости VC, противоположной положительному направлению оси, определяются направления вращения всех шестерен (рисунок 2.9). Для угловой скорости шестерни 5 получим

ω5=2πcos(π∙2/3)∙1,5∙1,0/(3∙2∙1,5)=
=2πcos120o∙1,5∙1,0/(3∙2∙1,5)= -0,52 c-1

Её угловое ускорение:

ε5=dω5/dt= -2π2sinπt∙r2∙r4/(r1∙r3∙r5)=
= -2∙3,142sin(π∙2/3)∙1,5∙1,0/(3∙2∙1,5)= -2,84 c-2.
Направление векторов скорости, касательного, нормального и полного ускорения точки
Рисунок 2.10

То есть вращение шестерни 5 и стрелки ускоренное (направления ω5 и ε5 совпадают).

Величина скорости точки K (конца стрелки)

VK5∙l=0,52∙4=2,08 см/с.

Ускорение точки определяется по формулам (3.11):

an= ω52∙l=0,522∙4=1,08 см/с2;
aτ= ε5∙l=2,84∙4=11,37 см/с2;

Направление векторов скорости, касательного, нормального и полного ускорения точки K стрелки показано на рисунке 2.10.

Другие примеры решения задач >>