Теорема Вариньона гласит: момент равнодействующей системы сил относительно какого-либо центра равен геометрической сумме моментов составляющих систему сил относительно того же центра.

В некоторых случаях при определении момента силы возникают трудности в расчете плеча силы.

Теорема Вариньона значительно упрощает решение этого вопроса.

Например, момент силы F относительно точки O можно определить как алгебраическую сумму моментов сил F_x и F_y (на которые можно разложить силу F) относительно той же точки O (рисунок 1.17). То есть

где F_x , F_y , x и y – проекции на оси координат силы F и радиуса-вектора r.

Применение теоремы Вариньона

Рассмотрим способ использования теоремы Вариньона на примере выполнения РГР 1 — равновесие тела под действием произвольной плоской системы сил.

Задача

Жесткая рама закреплена в точке А шарнирно, а в точке В прикреплена к невесомому стержню с шарнирами на концах или к шарнирной опоре на катках. В точке С к раме привязан трос, перекинутый через блок и несущий на конце груз весом Р=25кН.

На раму действует пара сил с моментом М=60кН∙м и две силы F₂ и F₃, величины которых, направления и точки приложения показаны на расчетной схеме.

Требуется определить реакции связей в точках А и В, вызываемые действующими нагрузками. При окончательных расчетах принять а=0,5 м.

При решении данной задачи следует учесть, что натяжения обеих ветвей нити, перекинутой через блок, когда трением пренебрегают, будут одинаковыми.

Уравнение моментов будет более простым (содержать меньше неизвестных), если брать моменты относительно точки, где пересекаются линии действия двух неизвестных реакций связей. При вычислении момента силы F часто удобно разложить ее на составляющие F’ и F», для которых плечи сил легко определяются, и воспользоваться теоремой Вариньона, тогда М₀F = М₀F’+ М₀F».

Решение

Рассмотрим равновесие жесткой рамы. Проведем координатные оси x-y и изобразим действующие на раму силы: силу F₂ в точке E, силу F₃ в точке K, натяжение троса Т (по модулю Т=Р) и реакции связей R_Ax и R_Ay в точке А (неподвижной шарнирной опоре), R_B в точке В.

Для полученной плоской системы сил составляем три уравнения равновесия. При вычислении моментов сил F₂, F₃ и реакции R_B воспользуемся теоремой Вариньона, т.е. раскладываем силы на составляющие (проекции сил на оси координат).

Получаем следующие уравнения статики:

Из уравнения (3) получаем:

Знак «минус» показывает, что реакция R_B направлена в противоположную сторону.

Из уравнения (1) находим R_Ax:

Из уравнения (2) определяем R_Ay:

Полная реакция шарнирно-неподвижной опоры определяется по формуле:

Ответ: R_A=62,21кН, R_B=7,99кН

Примеры решения задач >
Момент силы относительно оси >