Теория напряженного состояния и гипотезы прочности

Не удалось найти URL спецификации гаджета

Теория напряженного состояния и гипотезы прочности

Понятие о напряжениях в точке

На основании допущения о сплошности тела можно считать, что внутренние силы непрерывно распределены по всему сечению. Выделим  в произвольной точке малую площадку ΔA, а равнодействующую внутренних сил на этой площадке обозначим ΔR. Отношение

представляет собой  среднее напряжение на данной площадке. Если площадку ΔA уменьшить, то в пределе получим полное напряжение в точке

Не удалось найти URL спецификации гаджета

 Полное напряжение р может быть разложено на три составляющие: по нормали к плоскости сечения и по двум осям в плоскости сечения. Проекция  вектора полного напряжения р  на нормаль обозначается через σ и называется нормальным напряжением. Составляющие в плоскости сечения называются касательными напряжениями и обозначаются  τ . В зависимости от расположения и наименования осей  обозначения  σ  и  τ  снабжаются системой индексов.

напряжения на элементарной площадке


Связь между напряжениями и внутренними силами

Установим связь между напряжениями и внутренними силами, возникающими в поперечном сечении стержня. Для этой цели выделим на сечении бесконечно малую площадку dA и приложим к ней элементарные силы  σ dA,  τx dA,  τy dA.

Связь между напряжениями и внутренними силами

Суммируя проекции этих элементарных сил, а также их моменты относительно осей Ox, Oy, Oz, найдём;

Знак «А» у интеграла показывает, что интегрирование проводится по всей площади поперечного сечения. Приведённые формулы позволяют определить равнодействующие внутренних сил через напряжения, если известен закон распределения последних по сечению. 

Обратную задачу с помощью только одних этих уравнений решить нельзя, так как одной и той же величине внутреннего усилия, например N, могут соответствовать различные законы распределения нормальных напряжений по сечению.

Одной из основных задач сопротивления материалов является задача об определении напряжении через равнодействующие внутренних сил. При этом оказывается, что решить эту задачу можно только, рассматривая параллельно с условиями равновесия и условия деформации бруса.

Объемное напряженное состояние

Совокупность напряжений, действующих по площадкам, проведенным через исследуемую точку, составляет напряженное состояние в рассматриваемой точке. На площадках общего положения действуют нормальные и касательные напряжения (рис. 3.1).


Объемное напряженное состояние

Рис. 3.1

Значения касательных напряжений на взаимно перпендикулярных площадках подчиняются закону парности касательных напряжений:

Закон парности касательных напряжений

 Относительные деформации и напряжения связаны обобщенным законом Гука.


Обобщенный закон Гука

Площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, называются главными, а нормальные напряжения, действующие по этим площадкам, называются главными напряжениями (рис. 3.2).

Обозначение главных напряжений:

главные напряжения

Напряженное состояние называется объемным или трехосным, если


Трехосное напряженное состояние
Рис. 3.2

Относительное изменение объема:где К – модуль объемной упругости,


Удельная потенциальная энергия упругой деформации:
полная

изменение объема

изменение формы

Плоское напряженное состояние

Напряженное состояние называется плоским или двухосным, если одно из главных напряжений равно нулю (рис. 3.3).

Плоское напряженное состояние

Рис.3.3

Напряжения на наклонной площадке (рис. 3.4,а)


Величина и направление главных напряжений (рис. 3.4,б)

Чистый сдвиг  σx σy = 0   (рис. 3.4,в)
двухосное напряженное состояние

Рис. 3.4

Линейное напряженное состояние

Напряженное состояние называется линейным или одноосным, если два главных напряжения равны нулю.

Проверка прочности при линейном напряженном состоянии проводится по условию прочности:

В сложном напряженном состоянии проверку прочности проводят по гипотезам прочности по эквивалентному напряжению:

Величина  σэкв определяется, исходя из принятого критерия эквивалентности, лежащего в основе одной из гипотез разрушения или гипотез прочности, при котором сложное напряженное состояние заменяется эквивалентным ему растяжением или сжатием.

Гипотезы прочности

Гипотезы прочности
Не удалось найти URL спецификации гаджета