Расчет скорости и ускорения точки колеса в заданный момент времени

Кинематика точки
Пример решения задачи (РГР К3)

Задача

Кривошип ОА, вращаясь вокруг оси, перпендикулярной плоскости чертежа и проходящей через точку О, приводит в движение колесо II, которое катится без скольжения по неподвижному колесу I. Найти скорость и ускорение точки В колеса II, для момента времени, когда угол  α=450, если R=20 см, r=20 см,  ωOA= 4 с-1,   εOA= 2 с-2 (рис. 2.10).

Решение

Колесо II движется в плоскости чертежа, т.е. совершает плоско-параллельное движение.

По условию, колесо I неподвижно, значит, точка соприкосновения колес является МЦС для колеса II. Обозначим ее как CV   (эта точка не принадлежит кривошипу ОА). Скорость точки В определяется выражением
VB= ωII x BCV
и направлена перпендикулярно отрезку ВСV, в сторону вращения колеса II (рис. 2.11).

Рис. 2.10

Для определения угловой скорости ωII запишем выражение для скорости точки А.

С другой стороны, точка А принадлежит кривошипу ОА. Скорость точки А, принадлежащей кривошипу, определяется выражением

и направлена  ОА в сторону вращения кривошипа ОА. Из этих рассуждений следует:  

Найдем скорость точки В, используя теорему о скоростях точек плоской фигуры. Для этого примем точку А за полюс. Тогда VB=VA+VBA (векторно). Величина и направление скорости точки А определяются из условий движения кривошипа ОА.  VA= ωOA x OA и вектор   VA  ОА и направлен в сторону вращения кривошипа (рис. 2.12).

Скорость VBA  - это скорость точки В во вращательном движении вокруг полюса А.  

Рис. 2.11

Величина скорости  VBA= ωII x r=12 x 20=240 см/с и этот  вектор направлен    отрезку   АВ   в    сторону  вращения колеса II.

Чтобы сложить VA  и VBA , перенесем вектор VA  в конец вектора  VBA. Соединяя начало вектора  VBA с концом вектора  VA, получим вектор VB . Из построения:

Определим ускорение точки В.

Согласно теореме об ускорении точки плоской фигуры, ускорение точки В можно определить из выражения

где  aA  -  ускорение   точки  А,  принятой   за полюс;

Рис. 2.12

aBA - ускорение точки В во вращательном движении, вокруг полюса А.

Точка А – принадлежит колесу II и кривошипу ОА, движение которого известно, тогда  

Ускорение aBA  (ускорение во вращательном движении) состоит из двух слагаемых:

Найдем   εII по определению :

Подставляя числовые значения, получим

тогда

Ускорение точки В найдем, спроецировав все векторы уравнения

на выбранные оси координат ОХ и OY.

Углы, которые составляют вектор ускорения  aB с осями ОХ и OY, определим через направляющие косинусы.


 
Рис. 2.13