Расчет скорости и ускорения точки колеса в заданный момент времени

Расчет скорости и ускорения точки колеса в заданный момент времени

Задача

Кривошип ОА, вращаясь вокруг оси, перпендикулярной плоскости чертежа и проходящей через точку О, приводит в движение колесо II, которое катится без скольжения по неподвижному колесу I.

Найти скорость и ускорение точки В колеса II, для момента времени, когда угол α=45°, если R=20 см, r=20 см, ωOA=4 с-1, εOA=2 с-2 (рис. 2.10).

Решение

Колесо II движется в плоскости чертежа, т.е. совершает плоскопараллельное движение.

По условию, колесо I неподвижно, значит, точка соприкосновения колес является МЦС для колеса II. Обозначим ее как CV (эта точка не принадлежит кривошипу ОА). Скорость точки В определяется выражением

VBII×BCV

и направлена перпендикулярно отрезку ВСV, в сторону вращения колеса II (рис. 2.11)

Рис. 2.10

Для определения угловой скорости ωII запишем выражение для скорости точки А.

С другой стороны, точка А принадлежит кривошипу ОА. Скорость точки А, принадлежащей кривошипу, определяется выражением

и направлена ⊥ОА в сторону вращения кривошипа ОА. Из этих рассуждений следует:

Найдем скорость точки В, используя теорему о скоростях точек плоской фигуры. Для этого примем точку А за полюс.

Тогда
VB=VA+VBA (векторно).
Величина и направление скорости точки А определяются из условий движения кривошипа ОА.
VAOA×OA
и вектор VA⊥ОА и направлен в сторону вращения кривошипа (рис. 2.12).

Скорость VBA - это скорость точки В во вращательном движении вокруг полюса А.

Рис. 2.11

Величина скорости
VBAII×r=12×20=240 см/с
и этот вектор направлен ⊥ отрезку АВ в сторону вращения колеса II.

Чтобы сложить VA и VBA, перенесем вектор VA в конец вектора VBA. Соединяя начало вектора VBA с концом вектора VA, получим вектор VB. Из построения:

Определим ускорение точки В.

Согласно теореме об ускорении точки плоской фигуры, ускорение точки В можно определить из выражения

где aA - ускорение точки А, принятой за полюс;

Рис. 2.12

aBA - ускорение точки В во вращательном движении, вокруг полюса А.

Точка А – принадлежит колесу II и кривошипу ОА, движение которого известно, тогда

Ускорение aBA (ускорение во вращательном движении) состоит из двух слагаемых:

Найдем εII по определению:

Подставляя числовые значения, получим

тогда

Ускорение точки В найдем, спроецировав все векторы уравнения

на выбранные оси координат ОХ и OY.

Углы, которые составляют вектор ускорения aB с осями ОХ и OY, определим через направляющие косинусы.